《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

5. 大同古城墙位于大同市中心区域，是我国现存较为完整的一座古代城垣建筑. 某校两个数学研究小组分别设计了如下方案测量大同古城墙的高度：

问题解决：
(1)从两个小组的方案中选择一种合适的方案，计算大同古城墙的高度；(结果精确到1 m)
(2)请你重新设计一种测量方案，画出示意图，并写出需要测量的数据.

答案：
解：
(1)第二小组的测量方案无法测出古城墙的高度，选择方案一.
如图，过点C作$CM\perp EF$于点M，则$\angle CMA=\angle CMB = 90^{\circ}$.

设$CM = x$ m.
在$Rt\triangle ACM$中，$AM=\frac{CM}{\tan\angle CAB}=\frac{x}{\tan65.6^{\circ}}$.
在$Rt\triangle BCM$中，$BM=\frac{CM}{\tan\angle CBA}=\frac{x}{\tan39.4^{\circ}}$.
$\because AM + BM = AB$，
$\therefore\frac{x}{\tan65.6^{\circ}}+\frac{x}{\tan39.4^{\circ}}=22$.
解得$x\approx13$.
因此，大同古城墙的高度约为13 m.
(2)方案不唯一，合理即可.
测量示意图如图：

需要测量的数据为$\angle CBA$和$\angle CAB$的度数及AB的长度.

6. 晋阳桥主桥的东西两侧对称设置了4个高大的桥头堡. 某数学活动小组计划测量晋阳桥桥头堡露出水面部分的高度，他们在汾河岸边的平地上，选取两个不同的测点，分别测量了桥头堡顶端的仰角、水面交汇点的俯角以及这两个测点之间的距离，测量数据如表(不完整).

(1)补全上表；
(2)根据以上测量结果，请你帮助该数学活动小组求桥头堡露出水面部分EF的高度. (结果精确到1 m；参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，$\sqrt{3}$≈1.73)

答案： 解：
(1)$60^{\circ}$ $30^{\circ}$
(2)$\because\angle EAG = 60^{\circ},\angle ABE = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle AEB=\angle EAG-\angle ABE = 30^{\circ}$.
$\therefore\angle ABE=\angle AEB.\therefore AE = AB = 42$.
在$Rt\triangle AEG$中，$EG = AE\sin\angle EAG = 42\sin60^{\circ}\approx36.33,AG = AE\cos\angle EAG = 42\cos60^{\circ}=21$.
在$Rt\triangle AFG$中，$FG = AG\tan\angle FAG = 21\tan29^{\circ}\approx11.55$.
$\therefore EF = EG + FG\approx36.33 + 11.55\approx48$(m).
因此，桥头堡露出水面部分EF的高度约为48 m.