《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

8. 如图①是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门是圆的一段弧. 随着四季更迭，半遮半掩之间，月亮门便将丝丝景致幻化成诗情画意. 图②是其示意图，其中AB=1.8米，C为AB的中点，D为月亮门的最高点，圆心O在线段CD上，CD=2.7米，求月亮门所在圆的半径.
　　　　　　

答案：
解：如图，连接OA.

∵C为AB的中点，CD经过圆心O，
∴AC = BC = $\frac{1}{2}AB = 0.9$米，OC⊥AB.
设OA = OD = r米，则OC = CD - OD = (2.7 - r)米.
在Rt△AOC中，OA² = AC² + OC²，
即r² = 0.9² + (2.7 - r)²，解得r = 1.5.
∴月亮门所在圆的半径为1.5米.

9. 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为( )
A. 2 cm
B. $\sqrt{3}$ cm
C. 2$\sqrt{5}$ cm
D. 2$\sqrt{3}$ cm
　　　

答案：
D 解析：如图，连接OA，过圆心O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AB = 2AD.

由折叠，得OD = $\frac{1}{2}OE=\frac{1}{2}\times2 = 1$.
在Rt△OAD中，AD = $\sqrt{OA^{2}-OD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.
∴AB = $2\sqrt{3}$ cm.

10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径作圆，与AB交于点D，则BD的长为_________.
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
$\frac{7}{5}$ 解析：如图，过点C作CE⊥AD于点E，则AD = 2AE.

在Rt△ABC中，AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CE$，
∴CE = $\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3\times4}{5}=\frac{12}{5}$.
在Rt△ACE中，AE = $\sqrt{AC^{2}-CE^{2}}=\sqrt{3^{2}-(\frac{12}{5})^{2}}=\frac{9}{5}$.
∴AD = $\frac{18}{5}$.
∴BD = AB - AD = $\frac{7}{5}$.

11. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E. 若AE=2，BE=10，∠AEC=30°，则CD的长为_________.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
$8\sqrt{2}$ 解析：如图，连接OD，过点O作OM⊥CD于点M，则CD = 2DM.

∵AE = 2，BE = 10，
∴AB = AE + BE = 12.
∵AB是⊙O的直径，
∴OA = OD = $\frac{1}{2}AB = 6$.
∴OE = OA - AE = 6 - 2 = 4.
∵∠AEC = 30°，
∴∠OEM = 30°.
∴OM = $\frac{1}{2}OE = 2$.
在Rt△ODM中，DM = $\sqrt{OD^{2}-OM^{2}}=\sqrt{6^{2}-2^{2}} = 4\sqrt{2}$.
∴CD = $8\sqrt{2}$.

12. 根据素材解决问题：
设计货船通过圆形拱桥的方案
【素材一】
如图①是一座圆形拱桥，图②是其示意图，水面宽AB=16 m，拱顶到水面的距离CD=4 m.
【素材二】
如图③，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EH=12 m，EF=2.1 m. 因水深足够，货船可以根据需要运载货物. 据调查，货船的载重量每增加1 t，船身下降0.01 m.
问题解决
(1)求圆形拱桥的半径.
(2)货船能否通过该圆形拱桥？若不能，至少要增加多少货物才能通过？
　　　　

答案：
解：
(1)如图，设圆形拱桥的圆心为点O，则点O在CD的延长线上，连接OA.

由题意，知OC⊥AB，
∴AD = $\frac{1}{2}AB = 8$.
设OA = OC = r m，则OD = OC - CD = (r - 4) m.
在Rt△AOD中，OD² + AD² = OA²，
即(r - 4)² + 8² = r²，解得r = 10.
∴圆形拱桥的半径为10 m.
(2)如图，当EH是⊙O的弦时，设EH与OC的交点为M，连接OE，则OE = 10.

∵四边形EFGH为矩形，
∴EH//FG.
∵OC⊥AB，
∴OM⊥EH.
∴EM = $\frac{1}{2}EH = 6$.
∴OM = $\sqrt{OE^{2}-EM^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$.
∵OD = OC - CD = 10 - 4 = 6，
∴DM = OM - OD = 2.
∵2.1＞2，
∴货船不能通过该圆形拱桥.
∵(2.1 - 2)÷0.01 = 10，
∴至少要增加10 t货物才能通过.

易错特训 已知AB，CD是⊙O的两条平行弦，AB=8，CD=6，⊙O的半径为5，则弦AB与CD之间的距离为( )
A. 1
B. 7
C. 4或3
D. 7或1

答案：
D 解析：分两种情况讨论：
如图①，当AB与CD位于圆心两侧时，过圆心O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA，OC，则OA = OC = 5，AE = $\frac{1}{2}AB = 4$.
∵AB//CD，
∴OF⊥CD.
∴CF = $\frac{1}{2}CD = 3$.
根据勾股定理，得OE = $\sqrt{OA^{2}-AE^{2}} = 3$，OF = $\sqrt{OC^{2}-CF^{2}} = 4$，
∴EF = OE + OF = 3 + 4 = 7.

如图②，当AB与CD位于圆心同侧时，同理可得OE = 3，OF = 4.
∴EF = OF - OE = 4 - 3 = 1.
综上，弦AB与CD之间的距离为7或1.