《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

9. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，tanA = 2，则cosA的值为（ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ C. $\frac{1}{2}$ D. 2

答案： A　解析：在Rt△ABC中，∠C = 90°，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
由于$\tan A=\frac{a}{b}=2$，故设b = k，则a = 2k.
由勾股定理，得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5}k$.
所以$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{k}{\sqrt{5}k}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB = 5，BC = 3，将△BCD沿BD折叠到△BED的位置，DE交AB于点F，求cos∠ADF的值.

答案： 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = 90°，AB//CD，AD = BC = 3.
∴∠BDC = ∠DBF.
由折叠，得∠BDF = ∠BDC.
∴∠BDF = ∠DBF.
∴BF = DF.
设BF = DF = x，则AF = AB - BF = 5 - x.
在Rt△ADF中，由勾股定理，得$AD^{2}+AF^{2}=DF^{2}$，即$3^{2}+(5 - x)^{2}=x^{2}$.
解得$x=\frac{17}{5}$.
∴$DF=\frac{17}{5}$.
∴$\cos\angle ADF=\frac{AD}{DF}=\frac{15}{17}$.

11. 如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长均为1，则tan∠BAC的值为（ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\sqrt{3}$

答案：
B　解析：如图，连接BC.

易得AB = BC = $\sqrt{5}$，AC = $\sqrt{10}$，
∴$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$.
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC = 90°.
∴$\tan\angle BAC=\frac{BC}{AB}=1$.

12. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点. 若EF = 2，BC = 5，CD = 3，则tanC的值为（ ）

A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案：
B　解析：如图，连接BD.

∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线.
∴BD = 2EF = 4.
∵CD = 3，BC = 5，
∴$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}$.
∴△BCD是直角三角形，且∠BDC = 90°.
∴$\tan C=\frac{BD}{CD}=\frac{4}{3}$.

13. 如图，A，B，C，D都在正方形网格的格点上，AC与BD交于点P，则tan∠APB的值为（ ）

A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{2}{5}$

答案：
B　解析：如图，连接BE，DE，则BE//AC.

∴∠APB = ∠DBE.
∴$\tan\angle APB=\tan\angle DBE$.
设小正方形的边长为1.
由勾股定理，得BE = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，DE = $\sqrt{5^{2}+5^{2}} = 5\sqrt{2}$，BD = $\sqrt{3^{2}+7^{2}} = \sqrt{58}$.
∵$(2\sqrt{2})^{2}+(5\sqrt{2})^{2}=(\sqrt{58})^{2}$，
∴$BE^{2}+DE^{2}=BD^{2}$.
∴△BDE是直角三角形，且∠BED = 90°.
∴$\tan\angle DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{5}{2}$.
∴$\tan\angle APB=\frac{5}{2}$.

14. 如图，在△ABC中，CA = CB = 4，cosC = $\frac{1}{4}$，则sinB的值为______.

答案：
$\frac{\sqrt{10}}{4}$　解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D.

∴$CD = CA\cos C = 4\times\frac{1}{4}=1$.
∴$AD=\sqrt{CA^{2}-CD^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}$，BD = CB - CD = 3.
∴$AB=\sqrt{BD^{2}+AD^{2}} = 2\sqrt{6}$.
∴$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

15. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，BC = 2$\sqrt{6}$. 若∠A = α，则cos2α的值是________.

答案：
$\frac{5}{7}$　解析：如图，作AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，连接BD.

设AD = x，则CD = AC - AD = 12 - x.
∵DE垂直平分AB，
∴BD = AD = x.
∴∠ABD = ∠A.
∴∠BDC = ∠ABD + ∠A = 2∠A = 2α.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得$BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$，
即$(2\sqrt{6})^{2}+(12 - x)^{2}=x^{2}$.
解得x = 7.
∴12 - x = 5.
∴$\cos\angle BDC=\frac{CD}{BD}=\frac{5}{7}$，即$\cos2α$的值是$\frac{5}{7}$.

16. 如图，△ABC和△BCD都是直角三角形. ∠BAC = ∠DBC = 90°，∠ABC = 45°，∠BDC = 60°，连接AD，求∠BAD的正切值.

答案：
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB的延长线于点E.

∵∠DBC = 90°，∠ABC = 45°，
∴∠DBE = 180° - ∠DBC - ∠ABC = 45°.
设DE = x，则$BE=\frac{DE}{\tan\angle DBE}=x$，$BD=\frac{DE}{\sin\angle DBE}=\sqrt{2}x$.
∴$BC = BD\tan\angle BDC=\sqrt{6}x$.
∴$AB = BC\cos\angle ABC=\sqrt{3}x$.
∴$AE = AB + BE=\sqrt{3}x + x$.
∴$\tan\angle BAD=\frac{DE}{AE}=\frac{x}{\sqrt{3}x + x}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.