《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

3. 学科实践
驱动任务：滑板运动是在不同地形、地面及特定设施上，在音乐的旋律下，完成各种复杂的滑行、跳跃等高难度动作的技巧性运动. 酷炫的滑板运动吸引了大批青少年参与其中，数学研习小组对U型滑板场地进行了研究.
研究步骤：
(1)如图，U型滑板轨道AB和CD是各自所在抛物线的一部分，点B，C分别为其所在抛物线的顶点，且轨道AB和CD所在抛物线的形状相同，其中OA = DE = OB = CE = 5 m，BC = 4 m.
(2)为了确保场地安全，需在轨道AB和CD的下方安装统一规格的支架进行加固，两边支架完全一致，其中轨道AB下方的支架由FM，GN，PF，QG四段构成，轨道CD下方的支架由KL，HR，KJ，HI四段构成.
问题解决：请根据上述研究步骤与相关数据，完成下列任务：
(1)以线段BC所在的直线为x轴，线段OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出轨道AB所在抛物线的函数表达式.
(2)支架的要求为FM，GN，KL，HR垂直于线段BC所在的直线，PF，QG，KJ，HI平行于线段BC所在的直线，且OM = MN，EL = RL. 请你通过计算，确定轨道两边需要支架材料的最短长度.

答案：
解：
(1)建立平面直角坐标系如图.

由题意，得$A(0,5)$，$B(5,0)$，且点$B$为抛物线的顶点.
设轨道$AB$所在抛物线的函数表达式为$y = a(x - 5)^{2}$.
将$A(0,5)$代入，得$25a = 5$，
解得$a=\frac{1}{5}$.
$\therefore$轨道$AB$所在抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{5}(x - 5)^{2}=\frac{1}{5}x^{2}-2x + 5$.
(2)易得$QG = ON$，$PF = OM$.
$\because OM = MN$，
$\therefore ON = 2OM$.
$\therefore QG = 2PF$.
设轨道两边需要支架材料的总长度为$d$m，点$F$的坐标为$(m,\frac{1}{5}m^{2}-2m + 5)$，则$G(2m,\frac{4}{5}m^{2}-4m + 5)$.
$\therefore PF = m$，$FM=\frac{1}{5}m^{2}-2m + 5$，$QG = 2m$，$GN=\frac{4}{5}m^{2}-4m + 5$.
$\therefore d = 2(PF + FM + QG + GN)$
$=2(m+\frac{1}{5}m^{2}-2m + 5 + 2m+\frac{4}{5}m^{2}-4m + 5)$
$=2(m^{2}-3m + 10)$
$=2(m - 1.5)^{2}+15.5$.
$\because2\gt0$，
$\therefore$当$m = 1.5$时，$d$有最小值，为15.5.
因此，轨道两边需要支架材料的最短长度为15.5 m.