《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1.【教材P42例1变式】已知二次函数图象的对称轴是$y$轴，经过点$(1,3)$，$(2,6)$，求这个二次函数的表达式.

答案： 解：根据题意，设这个二次函数的表达式为$y = ax^{2}+b$.
将$(1,3),(2,6)$分别代入，得$\begin{cases}a + b = 3,\\4a + b = 6.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a = 1,\\b = 2.\end{cases}$
所以，所求二次函数的表达式为$y = x^{2}+2$.

2.在二次函数$y = ax^{2}+bx + c$中，函数值$y$与自变量$x$的部分对应值如下表所示：
　
求这个二次函数的表达式.

答案： 解：由已知，可得$c = - 1$.
所以$y = ax^{2}+bx - 1$.
将$(-1,0),(1,-4)$分别代入，得$\begin{cases}a - b - 1 = 0,\\a + b - 1 = - 4.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a = - 1,\\b = - 2.\end{cases}$
所以，所求二次函数的表达式为$y = - x^{2}-2x - 1$.

3.已知抛物线$y = ax^{2}+bx + 2$经过点$(-3,-4)$，$(2,-14)$.
(1)求该抛物线的表达式.
(2)写出它的对称轴和顶点坐标.

答案： 解：
(1)将点$(-3,-4),(2,-14)$分别代入$y = ax^{2}+bx + 2$，得$\begin{cases}9a - 3b + 2 = - 4,\\4a + 2b + 2 = - 14.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 2,\\b = - 4.\end{cases}$
$\therefore$该抛物线的表达式为$y = - 2x^{2}-4x + 2$.
(2)$\because y = - 2x^{2}-4x + 2 = - 2(x + 1)^{2}+4$，
$\therefore$抛物线$y = - 2x^{2}-4x + 2$的对称轴是直线$x = - 1$，顶点坐标为$(-1,4)$.

4.已知二次函数$y = ax^{2}+2x + c$的图象经过点$(-1,0)$，$(2,3)$.求这个二次函数的表达式.

答案： 解：将点$(-1,0),(2,3)$分别代入$y = ax^{2}+2x + c$，得$\begin{cases}a - 2 + c = 0,\\4a + 4 + c = 3.\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a = - 1,\\c = 3.\end{cases}$
所以，所求二次函数的表达式为$y = - x^{2}+2x + 3$.

5.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.
　

答案： 解：由图可知，该二次函数的图象经过点$(-1,0)$，顶点坐标为$(1,-4)$.
设该二次函数的表达式为$y = a(x - 1)^{2}-4$.
将$(-1,0)$代入，得$4a - 4 = 0$，解得$a = 1$.
所以该二次函数的表达式为$y = (x - 1)^{2}-4 = x^{2}-2x - 3$.

6.已知二次函数的图象经过点$(-2,-1)$，且当$x = -1$时，函数有最大值2.求这个二次函数的表达式.

答案： 解：根据题意，可知该二次函数图象的顶点坐标为$(-1,2)$.
设该二次函数的表达式为$y = a(x + 1)^{2}+2$.
将$(-2,-1)$代入，得$a + 2 = - 1$.
解得$a = - 3$.
所以，所求二次函数的表达式为$y = - 3(x + 1)^{2}+2 = - 3x^{2}-6x - 1$.