《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. sin60°的值为（ ）
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： C

2. 下列各式正确的是（ ）
A. tan60°=$\frac{1}{tan30°}$
B. cos60°+tan45°=1
C. cos60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. sin²30°+cos²30°=$\frac{3}{4}$

答案： A 解析 A. $\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，$\frac{1}{\tan30^{\circ}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}$，$\therefore\tan60^{\circ}=\frac{1}{\tan30^{\circ}}$，A选项正确；
B. $\cos60^{\circ}+\tan45^{\circ}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$，B选项错误；
C. $\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$，C选项错误；
D. $\sin^{2}30^{\circ}+\cos^{2}30^{\circ}=(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=1$，D选项错误.

3. 计算：
（1）3tan30°+2cos45°-$\sqrt{3}$sin60°；
（2）sin²30°+cos²60°-tan²45°.

答案： 解：
(1)原式$=3\times\frac{\sqrt{3}}{3}+2\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}-\frac{3}{2}$.
(2)原式$=(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}-1^{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-1=-\frac{1}{2}$.

4. 如图，某数学兴趣小组的学生用一个含30°角的三角板测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18米，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5米，则教学楼的高度是（ ）

A. 6$\sqrt{3}$米
B. (6$\sqrt{3}$+1.5)米
C. 9$\sqrt{3}$米
D. (9$\sqrt{3}$+1.5)米

答案：
B 解析 如图，过点D作$DE\perp AB$于点E，则$\angle AED = 90^{\circ}$，四边形BCDE是矩形.

$\therefore DE = BC = 18$米.
由题意，知$\angle ADE = 30^{\circ}$.
在$Rt\triangle ADE$中，$AE = DE\tan\angle ADE = 18\tan30^{\circ}=6\sqrt{3}$(米).
$\therefore AB = AE + BE = AE + CD=(6\sqrt{3}+1.5)$米.

5. 如图，四边形ABCD是某护坡大坝的横截面，AD//BC，坝顶宽AD为5米，斜坡AB的坡度i=1:2，斜坡CD的坡角为45°，坡长CD=4米，则坝底宽BC为______米.

答案：
$(6\sqrt{2}+5)$ 解析 如图，分别过点A，D作BC的垂线，垂足为点E，F，则$\angle AEB=\angle DFC = 90^{\circ}$，$EF = AD = 5$米，$AE = DF$.

由题意，知$\angle C = 45^{\circ}$.
在$Rt\triangle CDF$中，$DF = CD\sin C = 4\sin45^{\circ}=2\sqrt{2}$，$CF = CD\cos C = 4\cos45^{\circ}=2\sqrt{2}$.
$\therefore AE = 2\sqrt{2}$.
由题意，知$AE:BE = 1:2$，
$\therefore BE = 4\sqrt{2}$.
$\therefore BC = BE + EF + CF = 6\sqrt{2}+5$，即坝底宽BC为$(6\sqrt{2}+5)$米.

6. 已知∠α为锐角，且2sin(α - 10°)=$\sqrt{3}$，则∠α的度数为（ ）
A. 20°
B. 40°
C. 50°
D. 70°

答案： D 解析 $\because 2\sin(\alpha - 10^{\circ})=\sqrt{3}$，
$\therefore\sin(\alpha - 10^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\because\angle\alpha$为锐角，
$\therefore\angle\alpha - 10^{\circ}=60^{\circ}$. $\therefore\angle\alpha = 70^{\circ}$.

7. 如图，某景区门口直立的柱子CM上方挂着一块景点宣传牌CD，宣传牌的一侧用绳子AD和BC牵引着两排小风车，已知AM=2米，AB=4米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则CD的长度为______米.

答案： $(2\sqrt{3}-2)$ 解析 在$Rt\triangle AMD$中，$\angle MAD = 45^{\circ}$，$AM = 2$米，
$\therefore DM = AM\tan\angle MAD = 2\tan45^{\circ}=2\times1 = 2$(米).
在$Rt\triangle BMC$中，$\angle MBC = 30^{\circ}$，$BM = AB + AM = 4 + 2 = 6$(米)，
$\therefore CM = BM\tan\angle MBC = 6\tan30^{\circ}=6\times\frac{\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$(米).
$\therefore CD = CM - DM=(2\sqrt{3}-2)$米.

8. 阅读下列材料：

请你仿照此求tan75°的值.

答案：
解：如图，构造$Rt\triangle ABC$，其中$\angle C = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，延长CB到点D，使$BD = AB$，连接AD.

$\therefore\angle BAD=\frac{1}{2}\angle ABC = 15^{\circ}$.
$\therefore\angle CAD=\angle BAC+\angle BAD = 75^{\circ}$.
设$AC = x$，则$BC = AC\tan\angle BAC=\sqrt{3}x$，$BD = AB=\frac{AC}{\cos\angle BAC}=2x$.
$\therefore CD = BD + BC = 2x+\sqrt{3}x=(2+\sqrt{3})x$.
$\therefore\tan75^{\circ}=\tan\angle CAD=\frac{CD}{AC}=2+\sqrt{3}$.