《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 如图，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达点C处时，测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离是______n mile.（结果保留根号）
　　

答案：
$6\sqrt{3}$ 解析 如图，过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于点E，则∠AEB = 90°。
　　　　　　　　
由题意，得∠BAE = 60°，∠CAE = 30°。
∴∠ABC = 90° - ∠BAE = 30°，∠BAC = ∠BAE - ∠CAE = 30°。
∴∠ABC = ∠BAC。
∴AC = BC = 12 n mile。
在Rt△ACE中，AE = ACcos∠CAE = 12cos30° = $6\sqrt{3}$(n mile)。
∴小岛A到航线BC的距离是$6\sqrt{3}$ n mile。

2. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东南方向上，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向以50$\sqrt{2}$ n mile/h的速度航行______h后，到达位于灯塔P南偏东30°方向上的B处.
　　

答案：
$(\sqrt{3}-1)$ 解析 如图，延长BA交PQ于点C，则∠PCB = 90°。
　　　　　　　　　
根据题意，得∠PAC = 45°，∠B = 30°，PA = 100 n mile。
在Rt△PAC中，PC = PAsin∠PAC = 100sin45° = $50\sqrt{2}$(n mile)，AC = PAcos∠PAC = 100cos45° = $50\sqrt{2}$(n mile)。
在Rt△PBC中，BC = $\frac{PC}{\tan B}$ = $\frac{50\sqrt{2}}{\tan 30°}$ = $50\sqrt{6}$(n mile)。
∴AB = BC - AC = $(50\sqrt{6}-50\sqrt{2})$ n mile。
$(50\sqrt{6}-50\sqrt{2})\div50\sqrt{2}=(\sqrt{3}-1)$ h。
∴它沿正南方向以$50\sqrt{2}$ n mile/h的速度航行$(\sqrt{3}-1)$ h后，到达位于灯塔P南偏东30°方向上的B处。

3. 为了丰富学生的文化生活，某校组织学生分别到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习. 已知A，B两地分别位于学校C的北偏西10°和北偏西47°方向上，B在A的南偏西37°方向上，且A，B两地相距900米，则去A地的学生比去B地的学生多走多少米?（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）
　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则∠AEB = ∠CEB = 90°。
　　　　　　　　
根据题意，得∠ACD = 10°，∠BCD = 47°，∠FAB = 37°，AB = 900米，CD//FA。
∴∠CAF = ∠ACD = 10°，∠BCE = ∠BCD - ∠ACD = 37°。
∴∠BAE = ∠FAB + ∠CAF = 47°。
在Rt△ABE中，AE = ABcos∠BAE = 900cos47°≈612(米)，BE = ABsin∠BAE = 900sin47°≈657(米)。
在Rt△BCE中，BC = $\frac{BE}{\sin\angle BCE}$ = $\frac{657}{\sin 37°}$≈1 095(米)，CE = $\frac{BE}{\tan\angle BCE}$ = $\frac{657}{\tan 37°}$≈876(米)。
∴AC = AE + CE≈1 488米。
∴AC - BC≈393米，即去A地的学生比去B地的学生多走393米。

4. 如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从距BC 40 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为60°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为________m.（结果保留根号）
　　　　　　　

答案： $(40\sqrt{3}-40)$ 解析 根据题意，得CD = 40 m，∠ADC = 60°，∠BDC = 45°。
在Rt△ACD中，AC = CDtan∠ADC = $40\sqrt{3}$ m。
在Rt△BCD中，BC = CDtan∠BDC = 40 m。
∴AB = AC - BC = $(40\sqrt{3}-40)$ m，即旗杆AB的高度为$(40\sqrt{3}-40)$ m。

5. 如图，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，则炎帝塑像DE的高度约为______m.（结果精确到1 m；参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，$\sqrt{3}$≈1.73）
　　　　　　　

答案： 51 解析 根据题意，得∠CAE = 34°，∠CBD = 60°，EC = 55 m，AB = 21 m。
在Rt△ACE中，AC = $\frac{EC}{\tan\angle CAE}$ = $\frac{55}{\tan 34°}$≈82.1。
∴BC = AC - AB≈82.1 - 21 = 61.1。
在Rt△BCD中，CD = BCtan∠CBD = 61.1tan60°≈105.7。
∴DE = CD - EC≈105.7 - 55≈51(m)。
∴炎帝塑像DE的高度约为51 m。

6. 如图，在路边有相距10 m且高度相同的两盏路灯PQ，MN（灯杆垂直于地面）. 小明在地面A处测得路灯PQ顶端的仰角为14°，向前行走25 m到达B处，测得路灯MN顶端的仰角为24.3°. 已知点A，B，Q，N在同一条直线上，请你利用所学知识帮助小明求出路灯的高度.（结果精确到0.1 m；参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25，sin24.3°≈0.41，cos24.3°≈0.91，tan24.3°≈0.45）
　　　　　　　　　　

答案： 解：由题意，得∠A = 14°，∠MBN = 24.3°，AB = 25 m，QN = 10 m。
设PQ = MN = x m。
在Rt△APQ中，AQ = $\frac{PQ}{\tan A}$ = $\frac{x}{\tan 14°}$。
在Rt△BMN中，BN = $\frac{MN}{\tan\angle MBN}$ = $\frac{x}{\tan 24.3°}$。
∵AQ + QN = AB + BN，
∴$\frac{x}{\tan 14°}$ + 10 = 25 + $\frac{x}{\tan 24.3°}$，解得x≈8.4。
所以，路灯的高度约为8.4 m。