《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 如图，抛物线$y = x^{2}-2x - 3$经过点$A(3,0)$，$B(0,-3)$，点$P$是线段$AB$上的动点，过点$P$作$x$轴的垂线交抛物线于点$M$. 当线段$PM$最长时，求点$P$的坐标.
　　　　　　　　　　

答案： 解：设直线AB的函数表达式为y = kx + b.
将A(3,0)，B(0, - 3)分别代入y = kx + b，得$\begin{cases}3k + b = 0\\b = - 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1\\b = - 3\end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为y = x - 3.
设点P的坐标为(t,t - 3)(0 ＜ t ＜ 3)，则点M的坐标为(t,$t^{2}-2t - 3$).
∴$PM=t - 3-(t^{2}-2t - 3)=-t^{2}+3t=-(t-\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$.
∴当$t=\frac{3}{2}$时，PM最长，此时，点P的坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{3}{2})$.

2. 如图，抛物线$y=-x^{2}+bx + c$与$x$轴交于$A(-3,0)$，$B(1,0)$两点，与$y$轴交于点$C$，连接$AC$，点$D$为$AC$上方抛物线上的一点，过点$D$作$DE\perp AC$于点$E$.
(1)求抛物线的表达式；
(2)求线段$DE$的最大值，并求出此时点$D$的坐标.
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)
∵抛物线$y=-x^{2}+bx + c$与x轴交于A(-3,0)，B(1,0)两点，
∴抛物线的表达式为$y=-(x - 1)(x + 3)=-(x^{2}+2x - 3)=-x^{2}-2x + 3$.
(2)如图，过点D作DF//y轴交AC于点F.

对于$y=-x^{2}-2x + 3$，令x = 0，得y = 3.
∴点C的坐标为(0,3).
∴OC = 3.
∵点A的坐标为(-3,0)，
∴OA = 3.
∴OA = OC.
∴∠OCA = ∠OAC = 45°.
∵DF//y轴，
∴∠DFE = ∠OCA = 45°.
∵DE⊥AC，
∴∠DEF = 90°.
在Rt△DEF中，$DE = DF\sin\angle DFE=\frac{\sqrt{2}}{2}DF$.
∴当DF最大时，线段DE的值也最大.
设直线AC的表达式为y = kx + d.
将A(-3,0)，C(0,3)代入y = kx + d，得$\begin{cases}-3k + d = 0\\d = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = 1\\d = 3\end{cases}$
∴直线AC的表达式为y = x + 3.
设点D的坐标为(t,$-t^{2}-2t + 3$)(-3 ＜ t ＜ 0)，则点F的坐标为(t,t + 3).
∴$DF=-t^{2}-2t + 3-(t + 3)=-t^{2}-3t=-(t+\frac{3}{2})^{2}+\frac{9}{4}$.
∴当$t=-\frac{3}{2}$时，线段DF取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$.
∴线段DE的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{2}DF=\frac{9\sqrt{2}}{8}$.
当$t=-\frac{3}{2}$时，$-t^{2}-2t + 3=\frac{15}{4}$.
∴此时点D的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{15}{4})$.