《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

7. 如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，连接OD，要使DE为⊙O的切线，还需补充一个条件，则下列补充的条件错误的是 （ ）

A. DE=OD
B. AC//OD
C. CD=DB
D. AB=AC

答案： 7.A　解析：B.
∵$AC//OD$，$DE⊥AC$，
∴$DE⊥OD$.
又
∵$OD$是$\odot O$的半径，
∴$DE$是$\odot O$的切线.
C.
∵$CD = DB$，$AO = BO$，
∴$OD$是$\triangle ABC$的中位线.
∴$OD//AC$.
同B可证$DE$是$\odot O$的切线.
D.
∵$AB = AC$，
∴$∠B = ∠C$.
∵$OB = OD$，
∴$∠ODB = ∠B$.
∴$∠ODB = ∠C$.
∴$OD//AC$.
同B可证$DE$是$\odot O$的切线.
补充条件A无法证明$DE$为$\odot O$的切线.

8. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA的切点分别为D，E，F. 若∠BDE+∠CFE=110°，则∠A的度数为__________.

答案：
8.40°　解析：如图，连接$OD$，$OE$，$OF$.

∵$\odot O$是$\triangle ABC$的内切圆，
∴$OD⊥AB$，$OF⊥AC$.
∴$∠ODB = ∠ODA = 90^{\circ}$，$∠CFO = ∠AFO = 90^{\circ}$.
∴$∠ODE + ∠OFE = ∠ODB + ∠CFO-(∠BDE + ∠CFE)=90^{\circ}+90^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$.
∵$OD = OE$，$OF = OE$，
∴$∠OED = ∠ODE$，$∠OEF = ∠OFE$.
∴$∠DEF = ∠OED + ∠OEF = ∠ODE + ∠OFE = 70^{\circ}$.
∵$\overset{\frown}{DF}=\overset{\frown}{DF}$，
∴$∠DOF = 2∠DEF = 140^{\circ}$.
∴$∠A = 360^{\circ}-∠ODA - ∠AFO - ∠DOF = 40^{\circ}$.

9. 如图，在半径为10 cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，连接AC，BC. D为圆外一点，AD⊥CD，且AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6 cm.
（1）求证：CD是⊙O的切线.
（2）求AD的长.

答案：

(1)证明：如图，连接$OC$，则$OC = OA$.

∴$∠CAO = ∠ACO$.
∵$AC$平分$∠BAD$，
∴$∠DAC = ∠CAO$.
∴$∠DAC = ∠ACO$，
∴$AD//OC$.
∵$AD⊥CD$，
∴$OC⊥CD$.
又
∵$OC$是$\odot O$的半径，
∴$CD$是$\odot O$的切线.
(2)解：
∵点$E$是$BC$的中点，$OA = OB$，
∴$OE$是$\triangle ABC$的中位线.
∴$AC = 2OE = 12cm$.
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB = 90^{\circ}$，$AB = 2\times10 = 20(cm)$.
∵$AD⊥AC$，
∴$∠ADC = 90^{\circ}$.
∴$∠ADC = ∠ACB$.
又
∵$∠DAC = ∠CAB$，
∴$\triangle ACD\sim\triangle ABC$.
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{12}=\frac{12}{20}$.
∴$AD = 7.2cm$.

10. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接DB，BE.
（1）求证：DB=DE.
（2）若AE=3，FD=4，求BD的长.

答案：
(1)证明：
∵点$E$是$\triangle ABC$的内心，
∴$AE$平分$∠BAC$，$BE$平分$∠ABC$.
∴$∠BAD = ∠CAD$，$∠ABE = ∠CBE$.
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴$∠CBD = ∠CAD$.
∴$∠CBD = ∠BAD$.
∵$∠BED = ∠ABE + ∠BAD$，$∠DBE = ∠CBE + ∠CBD$，
∴$∠BED = ∠DBE$，
∴$DB = DE$.
(2)解：
∵$∠D = ∠D$，$∠BAD = ∠FBD$，
∴$\triangle ABD\sim\triangle BFD$，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{FD}{BD}$.
设$EF = x$，
则$BD = DE = FD + EF = 4 + x$，$AD = AE + FD + EF = 7 + x$.
∴$\frac{4}{4 + x}=\frac{4 + x}{7 + x}$.
解得$x = 2$，$x = - 6$（不合题意，舍去）.
∴$BD = 4 + 2 = 6$.

11. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，BC=DC，BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BF=BE.
（1）求证：BF是⊙O的切线.
（2）若EF=6，cos∠ABC=\frac{3}{5}，求⊙O的半径.

答案：
(1)证明：
∵$BC = DC$，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{DC}$.
∴$∠A = ∠CBD$.
∵$BE = BF$，
∴$∠BEC = ∠F$.
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB = 90^{\circ}$.
∴$∠BEC + ∠CBD = 90^{\circ}$.
∴$∠F + ∠A = 90^{\circ}$.
∴$∠ABF = 90^{\circ}$，
∴$OB⊥BF$.
∵$OB$是$\odot O$的半径，
∴$BF$是$\odot O$的切线.
(2)解：
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$∠ACB = 90^{\circ}$.
∴$BC⊥EF$.
又
∵$BE = BF$，
∴$CF=\frac{1}{2}EF=\frac{1}{2}\times6 = 3$.
∵$∠ABF = ∠ABC + ∠CBF = 90^{\circ}$，$∠ACB = ∠CBF + ∠F = 90^{\circ}$，
∴$∠F = ∠ABC$.
∴$\cos F=\cos∠ABC=\frac{CF}{BC}=\frac{3}{5}$.
在$Rt\triangle BCF$中，$BF=\frac{CF}{\cos F}=\frac{3}{\frac{3}{5}} = 5$.
∴$BC=\sqrt{BF^{2}-CF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos∠ABC=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}$，$BC = 4$，则$AB=\frac{20}{3}$.
∴$\odot O$的半径为$\frac{10}{3}$.