《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫每降价1元，平均每天可多售出2件. 设每件衬衫降价x元，商场一天获得的利润为y元.
(1)每件衬衫盈利__________元，商场每天可售出__________件衬衫；(用含x的代数式表示)
(2)每件衬衫降价多少元时，商场一天获得的利润最大？

答案： 解：
(1)$(40 - x)$　$(20 + 2x)$
(2)$y=(40 - x)(20 + 2x)=-2x^{2}+60x + 800=-2(x - 15)^{2}+1250$
$\because x\geq0$，且$40 - x＞0$，
$\therefore0\leq x＜40$.
$\therefore$当$x = 15$时，$y_{最大}=1250$.
因此，每件衬衫降价15元时，商场一天获得的利润最大.

2. 某超市在“元宵节”来临之际，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得低于25元，根据以往销售经验，当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天少卖出10盒.
(1)求每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)每盒售价定为多少时，每天的销售利润w(元)最大？最大利润是多少？

答案： 解：
(1)根据题意，得$y = 250 - 10(x - 25)=-10x + 500$.
(2)$w=(x - 20)(-10x + 500)=-10x^{2}+700x - 10000=-10(x - 35)^{2}+2250$.
$\therefore$当$x = 35$时，$w_{最大}=2250$.
因此，每盒售价定为35元时，每天的销售利润$w$最大，最大利润是2250元.

3. 某超市购入一批进价为10元/盒的糖果，经市场调查发现：售价不低于进价时，日销售量y(盒)与销售单价x(元)满足一次函数关系，下表是y与x的几组对应值.
　　　
(1)求y与x的函数关系式；
(2)糖果的销售单价定为多少时，每日所获利润最大？最大利润是多少？

答案： 解：
(1)设$y = kx + b$.
由题意，得$\begin{cases}12k + b = 56\\14k + b = 52\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = - 2\\b = 80\end{cases}$
所以$y$与$x$的函数关系式为$y=-2x + 80$.
(2)设每日所获利润为$w$元.
根据题意，得$w=(x - 10)(-2x + 80)=-2x^{2}+100x - 800=-2(x - 25)^{2}+450$.
所以当$x = 25$时，$w_{最大}=450$.
因此，糖果的销售单价定为25元时，每日所获利润最大，最大利润是450元.

4. 新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加. 某商店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天的销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)规定消毒液的售价不低于进价，试求y与x之间的函数关系式及x的取值范围；
(2)消毒液的销售单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)设$y = kx + b$，将点$(60,100)$，$(70,80)$代入，得$\begin{cases}60k + b = 100\\70k + b = 80\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = - 2\\b = 220\end{cases}$
所以$y$与$x$之间的函数关系式为$y=-2x + 220$.
由题意，得$-2x + 220\geq0$，
解得$x\leq110$.
所以$x$的取值范围为$50\leq x\leq110$.
(2)设每天获得的利润是$w$元.
由题意，得$w=(x - 50)(-2x + 220)=-2(x - 80)^{2}+1800$.
所以当$x = 80$时，$w_{最大}=1800$.
因此，销售单价定为80元时，每天获得的利润最大，最大利润是1800元.