《2025年名校作业九年级数学下册北师大版》

1. 在Rt△ABC中，若∠C = 90°，AC = 3，AB = 5，则cosA的值为（ ）
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{3}{5}$

答案： D

2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD = 2$\sqrt{3}$，BC = 10，∠B = 30°，则tanC的值为（ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. 1

答案： B　解析：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC = ∠ADB = 90°.
在Rt△ABD中，BD = $\frac{AD}{\tan B}=\frac{2\sqrt{3}}{\tan 30^{\circ}} = 6$.
∴CD = BC - BD = 4.
∴$\tan C=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD，AE分别为△ABC的高线和中线，AB = 4，AC = 3，则cos∠EAD的值为（ ）

A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{24}{25}$

答案： D　解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC = $\sqrt{AB^{2}+AC^{2}} = 5$.
∵∠BAC = 90°，AD为△ABC的高线，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}BC\cdot AD$.
∴$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{12}{5}$.
∵AE为△ABC的中线，
∴$AE=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$.
∴$\cos\angle EAD=\frac{AD}{AE}=\frac{24}{25}$.

4. 如图，在矩形ABCD中，AB = 6，BC = 10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点A'处. 若EA'的延长线恰好经过点C，求tan∠ABE的值.

答案： 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = 90°，AD//BC.
∴∠AEB = ∠EBC.
由折叠，知A'E = AE，A'B = AB = 6，∠BA'E = ∠A = 90°，∠CEB = ∠AEB.
∴∠BA'C = 90°，∠CEB = ∠EBC.
∴A'C = $\sqrt{BC^{2}-A'B^{2}} = 8$，EC = BC = 10.
∴A'E = EC - A'C = 2.
∴AE = 2.
∴$\tan\angle ABE=\frac{AE}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD是AB边上的中线，BC = 6，CD = 5，则sin∠ACD的值为（ ）

A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{5}{8}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： C　解析：
∵CD是AB边上的中线，
∴$CD=\frac{1}{2}AB$，$AD=\frac{1}{2}AB$.
∴CD = AD，AB = 2CD = 10.
∴∠ACD = ∠A.
在Rt△ABC中，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
∴$\sin\angle ACD=\sin A=\frac{3}{5}$.

6. 如图，在4×4的正方形网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为（ ）

A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. 3

答案： B　解析：设小正方形的边长为1.
由图可得AB = 2，BC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，AC = $\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$，DE = $\sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}$，EF = 2，DF = $\sqrt{1^{2}+3^{2}} = \sqrt{10}$.
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\sqrt{2}$.
∴△ABC∽△DEF.
∴∠ACB = ∠DFE.
∴$\tan\angle ACB=\tan\angle DFE=\frac{1}{3}$.

7. 如图，AD，BE是△ABC的高，BE = 4$\sqrt{2}$，BC = 6，则sin∠CAD的值为______.

答案： $\frac{1}{3}$　解析：
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠ADC = ∠BEC = 90°.
∴∠CAD + ∠C = 90°，∠CBE + ∠C = 90°.
∴∠CAD = ∠CBE.
在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE = $\sqrt{BC^{2}-BE^{2}}=\sqrt{6^{2}-(4\sqrt{2})^{2}} = 2$.
∴$\sin\angle CBE=\frac{CE}{BC}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
∴$\sin\angle CAD=\sin\angle CBE=\frac{1}{3}$.

8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 3，sin∠ABC = $\frac{1}{3}$，D是边AB上一点，且CD = AC，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E.
（1）求∠EBD的正弦值；
（2）求AD的长.

答案：
解：
(1)
∵CD = AC，
∴∠CAD = ∠CDA.
∵∠CDA = ∠EDB，
∴∠CAD = ∠EDB.
∵BE⊥CD，
∴∠E = 90°.
∴∠EDB + ∠EBD = 90°.
∵∠ACB = 90°，
∴∠CAD + ∠ABC = 90°.
∴∠EBD = ∠ABC.
∴$\sin\angle EBD=\sin\angle ABC=\frac{1}{3}$.
(2)如图，过点C作CF⊥AB于点F.

在Rt△ABC中，$\cos\angle CAB=\frac{AC}{AB}=\sin\angle ABC=\frac{1}{3}$，
∴在Rt△ACF中，$\cos\angle CAF=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$.
∵AC = 3，
∴AF = 1.
∵CD = AC，CF⊥AD，
∴AD = 2AF = 2.