《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

1. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AB = 20 m，则点P到直线AB的距离PC为（ ）

A. 10√3 m
B. 20√3 m
C. 20 m
D. 10 m

答案： A

2. 如图，小蕊一家从A地自驾到大同土林风景区C游玩，导航显示车辆应先沿北偏东60°方向行驶6 km至B地，再沿南偏东42°方向行驶一段距离后到达风景区C. 若风景区C在A地的正东方向，则A，C两地的距离约为(结果精确到0.1 km;参考数据：sin 42°≈0.67, cos 42°≈0.74, tan 42°≈0.90, √3≈1.73)（ ）

A. 4.1 km
B. 5.2 km
C. 5.9 km
D. 7.9 km

答案： D

3. [2024武汉模拟]某市要在东西方向上的M，N两地之间修建一条道路.如图，C点周围180 m范围内为文物保护区，在MN上点A处测得C在A的北偏东60°方向上，从A向东走500 m到达B处，测得C在B的北偏西45°方向上. MN是否会穿过文物保护区？为什么？(参考数据：√3≈1.73)

答案：
解：MN不会穿过文物保护区. 理由如下：
由题意可得∠CAB = 30°，∠CBA = 45°，AB = 500 m，
设C到AB的距离为h m，如图，过点C作CD⊥AB于点D，

则CD = h m，
则tan 30° = $\frac{CD}{AD}=\frac{h}{AD}$，
tan 45° = $\frac{CD}{BD}=\frac{h}{BD}$，
∴AD = $\sqrt{3}h$ m，BD = h m，
∵AD + BD = AB = 500 m，
∴$\sqrt{3}h + h = 500$，
解得h = 250($\sqrt{3}-1$)≈182.5，
∵182.5＞180，
∴MN不会穿过文物保护区.

4. 如图，某人从山脚点A走了100 m后到达山顶点B.已知山顶点B到山脚的垂直距离BC是60 m，则该山坡的坡度为__________.

答案： 0.75

5. [2024恩施州一模]如图所示，某天桥的高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB = 45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D = 30°，则CD的长度约为__________米. (结果保留一位小数;参考数据：√2≈1.41, √3≈1.73)

答案： 3.7

6. 如图，坡角为37°的斜坡上有两棵树，它们的水平距离为12 m，高度都是4 m. 一只小鸟从下面树的顶端飞到上面树的顶端，小鸟至少要飞多远？两棵树树顶端的高度差约为多少？(参考数据：sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80, tan 37°≈0.75)

答案： 解：小鸟飞行的最短路径是沿平行于AB的方向从下面树的顶端径直飞到上面树的顶端，易得按此路径飞行的距离即为AB的长度.
在Rt△ABC中，AB = AC÷cos 37°≈12÷0.80 = 15(m).
因为两棵树的高度相同，所以两棵树顶端的高度差等于底端A，B的高度差，即BC的长度.
在Rt△ABC中，BC = AC·tan 37°≈12×0.75 = 9(m).
所以小鸟至少要飞15 m远，两棵树顶端的高度差约为9 m.