《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

1. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，8)和(10，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为__________.

答案：
(5, 2)
详解：如图，设正方形D'C'O'E'是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，

∵顶点A，B的坐标分别为(-2, 8)和(10, 0)，
∴AC = 8，OC = 2，OB = 10，
∴BC = 12，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE = OC = OE = 2，
∴O'E' = O'C' = C'D' = 2，
∵E'O'⊥BC，
∴∠BO'E' = ∠BCA = 90°，
∴E'O'//AC，
∴△BO'E'∽△BCA，
∴$\frac{E'O'}{AC}=\frac{BO'}{BC}$，
∴$\frac{2}{8}=\frac{BO'}{12}$，
∴BO' = 3，
∴OC' = 10 - 2 - 3 = 5，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(5, 2).

2. 如图，在矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，点P是边AB上一动点，连接DP.
(1)若将△DAP沿DP折叠，点A落在矩形的对角线上的点A'处，求AP的长；
(2)点P运动到某一位置，过点P作直线PE交BC于点E，将△DAP与△PBE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A'，B'处，若P，A'，B'三点恰好在同一直线上，且A'B' = 2，求此时AP的长.

答案：
解：
(1)①当点A落在对角线BD上时，
设AP = P'A' = x，
在矩形ABCD中，AD = BC = 3，
在Rt△ADB中，
∵AB = 4，AD = 3，
∴BD = $\sqrt{3^{2}+4^{2}}$ = 5，
∵AD = DA' = 3，
∴BA' = 2，
在Rt△BP'A'中，BP'² = P'A'² + BA'²，即(4 - x)² = x² + 2²，解得x = $\frac{3}{2}$，
∴AP = $\frac{3}{2}$.
②当点A落在对角线AC上时，
由翻折的性质可知PD⊥AC，易证△DAP∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AP}=\frac{AB}{BC}$，
∴AP = $\frac{AD\cdot BC}{AB}=\frac{3×3}{4}=\frac{9}{4}$.
∴AP的长为$\frac{3}{2}$或$\frac{9}{4}$.
(2)设AP = x，
则PB = 4 - x，
根据折叠的性质可知PA = P'A' = x，PB = PB' = 4 - x.
①当A'在线段PB'上时，如图1，
∵A'B' = 2，
∴4 - x - x = 2，
∴x = 1，即AP = 1.

②当B'在线段PA'上时，如图2，
∵A'B' = 2，
∴x - (4 - x) = 2，
∴x = 3，
∴AP = 3.

综上所述，AP的长为1或3.

3. [2024运城三模]综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师让同学们利用准备好的两张矩形纸片进行探究活动.智慧小组准备了两张矩形纸片ABCD和DEFG，其中AB = 6,BC = 8,DE = 3,EF = 4，将它们按如图1所示的方式放置，点E落在AD上，点G落在CD的延长线上，连接AG和BF.
【观察发现】(1)如图2，连接BD,FD，则BD和FD的位置关系是__________，$\frac{AG}{BF}=$__________；
【操作探究】(2)如图3，将矩形DEFG绕点D按顺时针方向旋转$\alpha(0^{\circ}＜\alpha＜360^{\circ})$，试探究(1)中AG和BF的数量关系是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】(3)在矩形DEFG旋转的过程中，当B、G、F三点共线时，直接写出线段AG的长.

答案：
解：
(1)BD⊥FD；$\frac{4}{5}$.
详解：如图，延长GF、BA相交于H，

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是矩形，
∴BH//CG，GH//BC，∠H = 90°，
AH = EF = 4，GH = BC = 8，BH = AB + AH = 10，FH = HG - GF = 5，
由勾股定理得，
BF = $\sqrt{BH^{2}+FH^{2}}=\sqrt{10^{2}+5^{2}}$ = 5$\sqrt{5}$，
BD = $\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}$ = 10，
DF = $\sqrt{DG^{2}+FG^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}$ = 5，
AG = $\sqrt{DG^{2}+AD^{2}}=\sqrt{4^{2}+8^{2}}$ = 4$\sqrt{5}$，
∴$\frac{AG}{BF}=\frac{4}{5}$，
易得BD² + DF² = BF²，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD⊥FD.
(2)成立.
理由：如图，连接BD和DF.

∵四边形ABCD是矩形，AB = 6，BC = 8，
∴AD = BC = 8，∠DAB = 90°，
∴BD = $\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$ = 10，
∵四边形DEFG是矩形，DE = 3，EF = 4，
∴GF = DE = 3，DG = EF = 4，∠DGF = 90°，
∴DF = $\sqrt{DG^{2}+GF^{2}}$ = 5，
∵$\frac{AB}{GF}=\frac{6}{3}$ = 2，$\frac{AD}{DG}=\frac{8}{4}$ = 2，
∴$\frac{AB}{GF}=\frac{AD}{DG}$.
∵∠BAD = ∠DGF = 90°，
∴△ABD∽△GFD，
∴∠BDA = ∠GDF，
∴∠BDA + ∠BDG = ∠GDF + ∠BDG，
∴∠ADG = ∠BDF，
∵$\frac{AD}{BD}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，$\frac{DG}{DF}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DG}{DF}$，
∴△ADG∽△BDF，
∴$\frac{AG}{BF}=\frac{AD}{BD}=\frac{4}{5}$.
(3)AG的长为$\frac{8\sqrt{21}+12}{5}$或$\frac{8\sqrt{21}-12}{5}$.
详解：①当点F在BG的延长线上时，连接BD，
∵∠DGF = 90°，

∴∠BGD = 90°，
∴△DBG为直角三角形，
∴BG² = BD² - DG² = 100 - 16 = 84，
∴BG = 2$\sqrt{21}$(负值舍去)，
∴BF = BG + GF = 2$\sqrt{21}$ + 3.
由
(2)得$\frac{AG}{BF}=\frac{4}{5}$，
∴AG = $\frac{8\sqrt{21}+12}{5}$.
②当点F在线段BG上时，连接BD，

∵∠BGD = 90°，
∴△DBG为直角三角形，
∴ = BD² - DG² = 100 - 16 = 84，
∴BG = 2$\sqrt{21}$(负值舍去)，
∴BF = BG - GF = 2$\sqrt{21}$ - 3.
由
(2)得$\frac{AG}{BF}=\frac{4}{5}$，
∴AG = $\frac{8\sqrt{21}-12}{5}$.
综上所述，当B、G、F三点共线时，线段AG的长为$\frac{8\sqrt{21}+12}{5}$或$\frac{8\sqrt{21}-12}{5}$.