《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

7. 如图是某公园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BC段可看成是双曲线的一段，建立如图所示的平面直角坐标系，其中，四边形AOEB是矩形，$OA = 5$米，$AB// OD$，$AB = 2$米，点C距水面的距离$CD = 1$米，则B，C之间的水平距离DE为（ ）

A. 5米
B. 6米
C. 7米
D. 8米

答案： D

8. 一个实验用轨道弹珠在轨道上运动5分钟后离开轨道，前2分钟其速度$v$(米/分)与时间t(分)满足二次函数$v = at^{2}$，后3分钟其速度v与时间t满足反比例函数关系，如图所示，轨道旁边的测速仪测得该弹珠第0.5分钟末的速度为0.5米/分，求：
(1)二次函数和反比例函数的解析式；
(2)弹珠离开轨道时的速度.

答案： 解:
(1) 由题意知$v = at^{2}$的图象经过点$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，
$\therefore a = 2$。
$\therefore$二次函数的解析式为$v = 2t^{2}(0\leq t\leq 2)$。
设反比例函数的解析式为$v=\frac{k}{t}(2\leq t\leq 5)$，由题意知，当$t = 2$时，$v = 8$，
$\therefore k = 16$，
$\therefore$反比例函数的解析式为$v=\frac{16}{t}(2\leq t\leq 5)$。
(2) 由题意知，弹珠离开轨道时的速度为$\frac{16}{5}=3.2$(米/分)。

9. [应用意识][综合与实践]如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8 $m^{2}$的矩形地块ABCD用以种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为a m.
【问题提出】小明提出这样一个问题：若$a = 10$，能否围出矩形地块？
【问题探究】(1)小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设AB为x m，BC为y m. 由矩形地块面积为8 $m^{2}$，得到$xy = 8$；由木栏总长为10 m，得到$2x + y = 10$，在平面直角坐标系中作出两个函数$(y=\frac{8}{x}、y = - 2x + 10)$的图象，则同时满足这两个条件的$(x,y)$就可以看成两个函数图象交点的坐标.
如图2，反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象与直线$l_{1}:y = - 2x + 10$的交点坐标为$(1,8)$和________，因此，木栏总长为10 m时，能围出矩形地块，此时$AB = 1$ m，$BC = 8$ m或$AB =$________ m，$BC =$________ m.
【类比探究】(2)若$a = 6$，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由.
【问题延伸】(3)当木栏总长为a m时，小华建立了一次函数$y = - 2x + a$. 他发现直线$y = - 2x + a$可以看成由直线$y = - 2x$通过平移得到的. 在平移过程中，当直线$y = - 2x + a$与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象有唯一公共点时，求公共点坐标及a的值.

答案：
解:
(1)$(4,2)$; 4; 2.
(2) 不能围出。
$y = -2x + 6$的图象如图中直线$l_{2}$所示。

理由: $\because$直线$l_{2}$与函数$y=\frac{8}{x}(x ＞ 0)$的图象没有公共点，
$\therefore$不能围出面积为$8\ m^{2}$的矩形地块。
(3) 如图中直线$l_{3}:y = -2x + a$所示
$\because$直线$y = -2x + a$与反比例函数$y=\frac{8}{x}(x ＞ 0)$的图象有唯一公共点，
$\therefore -2x + a=\frac{8}{x}$有唯一解，即方程$2x^{2}-ax + 8 = 0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta = (-a)^{2}-4×2×8 = 0$，
解得$a = 8$(负值舍去)，
$\therefore$当$x = 2$时，$y = 4$，
$\therefore$公共点坐标为$(2,4)$，$a$的值为8。