《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，若AD = 4，BD = 8，则CD的长为 （ ）

A. 4$\sqrt{2}$
B. 4
C. 4$\sqrt{3}$
D. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

答案： A

10. 如图，∠BAC = 90°，AD⊥BC于点D，AE = EC，ED的延长线交AB的延长线于点F.
求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$.

答案： 证明：由题意易知∠BAD + ∠ABD = 90°，∠C + ∠ABD = 90°，
∴∠BAD = ∠C，
又∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴Rt△ABD∽Rt△CAD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}$，
∵AD⊥BC，AE = CE，
∴DE是Rt△ACD斜边上的中线
∴DE = CE，
∴∠C = ∠EDC，
又
∵∠BDF = ∠EDC，
∴∠BDF = ∠C，
∴∠BDF = ∠BAD.
∵∠F = ∠F，
∴△DBF∽△ADF，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{AF}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{DF}{AF}$.

11. [2023吕梁期末]如图，已知在等腰△ABC中，AB = AC，点D，E分别在边BC和边AC上，连接AD，DE，∠B = ∠ADE.
(1) 求证：$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CD}$；
(2) 若AB = AC = 10，AD = 8，求CE的长.

答案： 解：
(1)证明：
∵∠B = ∠ADE，
∴∠ADB + ∠CDE = ∠ADB + ∠BAD
∴∠BAD = ∠CDE.
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{CD}$.
(2)
∵∠B = ∠C，∠B = ∠ADE，
∴∠C = ∠ADE，
∵∠DAE = ∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
即$\frac{8}{10}=\frac{AE}{8}$，
解得AE = 6.4，
∴CE = AC - AE = 10 - 6.4 = 3.6.

12. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AB上一点，将△BCE沿CE折叠，使点B落在AD边上的点F处，连接BF.已知AD = 5，AB = 3，则折痕CE的长为__________.

答案： $\frac{5\sqrt{10}}{3}$

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，若AB = 3，BC = 4，则线段CF的长为__________.

答案： $\frac{40}{17}$