《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

9. 如图，点E是矩形ABCD的边AB上一点，点F是边AD上一点，∠EFC = 90°，图中一定相似的三角形是 ( )
A. ①与②
B. ③与④
C. ②与③
D. ①与④
　　　　　　　　　　　　

答案： A

10. 将两个完全相同的等腰直角三角形(△ABC与△AFG)按如图所示的方式放置，则下列各组三角形中一定相似的是 ( )
A. △AEC与△ADB B. △ABE与△DAE
C. △ABC与△ADE D. △AEC与△ADC
　　　

答案： B

11. 如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B，C的一定点，过点M作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有 ( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
　　　

答案： C

12. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB = 13，BC = 10，求线段DE的长.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)证明:
∵AB=AC,AD为BC 边上的中线，
　
∴∠B=∠C,AD⊥BC.
　
∴∠ADC=90°.
　
∵DE⊥AB,
　
∴∠BED=90°=∠ADC.
　
∴△BDE∽△CAD.
(2)由题易知BD=5，
　　在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
AD=12.
　　由
(1)知△BDE∽△CAD,
　
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{DE}{AD}$，即$\frac{5}{13}=\frac{DE}{12}$，
　
∴$DE=\frac{60}{13}$.

13. [几何直观]如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE于点F.
(1)求证：△PFA∽△ABE.
(2)当点P在射线AD上运动时，设PA = x，是否存在实数x，使得以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
　　　　　　　　
思路点拨：两个直角三角形相似，需要根据锐角顶点的对应情况进行分类讨论.

答案：
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形，
　
∴AD//BC,∠ABC=90°,
　
∴∠PAF=∠AEB.
　
∵PF⊥AE,
　
∴∠PFA=∠ABE=90°,
　
∴△PFA∽△ABE.
(2)存在实数x,使得以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似.
　连接PE，若P在线段AD上，
　　　　　
当∠PEF=∠EAB时,
△EFP∽△ABE,
此时PE//AB,
　　　　　　　　　
∴四边形ABEP为矩形
∴PA=EB=2,即x=2.
若P在AD的延长线上，
　　
当∠PEF=∠AEB时,
△PFE∽△ABE,此时$\frac{PE}{AE}=\frac{EF}{EB}$.
∵∠PAF=∠AEB,∠PEF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF,
∴PE=PA.
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点.
在Rt△ABE中,
$AE = \sqrt{AB^{2}+BE^{2}} = 2\sqrt{5}$，
∴$EF = \frac{1}{2}AE = \sqrt{5}$，
∴$\frac{PE}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得PE = 5，
∴PA=x=5.
综上，满足条件的x的值为2或5.