《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

12. [分类讨论]已知三条线段的长度分别为1 cm，2 cm，3 cm，如果第四条线段与它们构成成比例线段，那么第四条线段的长度为________.

答案： $\frac{2}{3}$cm或$\frac{3}{2}$cm或6 cm

13. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD = 12，BC = 27，点E，F分别在边AB，CD上，且EF//AD.如果四边形AEFD与四边形EBCF相似，那么EF的长为________.

答案： 18

14. [教材P28习题5变式]如图，DE//BC，BD，CE相交于点A，DE = 3，BC = 9，AD = 1.5，AB = 4.5，AE = 1.8，AC = 5.4.
(1)求$\frac{AD}{AB}$，$\frac{AE}{AC}$，$\frac{DE}{BC}$的值；
(2)求证：△ADE与△ABC相似.

答案： 解：
(1)$\frac{AD}{AB}=\frac{1.5}{4.5}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1.8}{5.4}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
(2) 证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠D = ∠B，∠E = ∠C.
又
∵ ∠DAE = ∠BAC，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴ △ADE与△ABC相似.

15. [教材P28习题6变式]如图，在矩形花坛ABCD四周修建小路，已知AB = 20 m，AD = 30 m.如果相对的两条小路的宽相等，且宽度分别为x m，y m，问x与y的比值为多少时，能使得矩形A₁B₁C₁D₁和矩形ABCD相似?

答案： 解：当$\frac{20 + 2x}{20}=\frac{30 + 2y}{30}$，即$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$时，
矩形A₁B₁C₁D₁和矩形ABCD相似.
∴ 当x与y的比值为$\frac{2}{3}$时，能使得矩形A₁B₁C₁D₁和矩形ABCD相似.

16. [推理能力]阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形.如图，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“减半”矩形.
请你解决下列问题：
(1)当矩形的长和宽分别为7，1时，是否存在它的“减半”矩形？请作出判断，并说明理由.
(2)是否存在边长为a的正方形的“减半”正方形？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1) 存在. 理由如下：假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x，y，
则$\begin{cases}x + y = 4, ①\\xy=\frac{7}{2}, ②\end{cases}$
由①得y = 4 - x，③
把③代入②，整理得$x^{2}-4x+\frac{7}{2}=0$，
解得$x_{1}=2+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_{2}=2-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
当$x = 2+\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$y = 2-\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当$x = 2-\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$y = 2+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍).
∴ 存在“减半”矩形，它的长和宽分别为$2+\frac{\sqrt{2}}{2}$和$2-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2) 不存在. 理由如下：因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为1:2时，面积比必定是1:4，所以正方形的“减半”正方形不存在.