《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

12.若$\tan A = 2$，则估计$\angle A$的度数（ ）
A.在$0^{\circ}$和$30^{\circ}$之间
B.在$30^{\circ}$和$45^{\circ}$之间
C.在$45^{\circ}$和$60^{\circ}$之间
D.在$60^{\circ}$和$90^{\circ}$之间

答案： D

13.如图，$\triangle ABC$的顶点$B$、$C$的坐标分别是$(1,0)$、$(0,\sqrt{3})$，且$\angle ABC = 90^{\circ}$，$\angle A = 30^{\circ}$，则顶点$A$的坐标是__________.

答案： $(4,\sqrt{3})$

14.[2024晋中平遥县二模改编]已知锐角$A$，$B$满足$\sin(4\angle A - 5\angle B)=\frac{1}{2}$，$\tan(2\angle A - \angle B)=\sqrt{3}$，则$(\frac{1}{2})^{-2}+2\sin A - (\sqrt{2}-1)^{0}-\sqrt[3]{27}-\tan^{2}B$的值为__________.

答案： $\sqrt{2}-\frac{1}{3}$

15.在$\triangle ABC$中，若$\left|\sin A - \frac{\sqrt{2}}{2}\right|+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos B)^{2}=0$，$\angle B$，$\angle A$都是锐角，求$\angle C$的度数.

答案： 解：$\because|\sin A-\frac{\sqrt{2}}{2}|+(\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos B)^{2}=0$，
$\therefore\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\because\angle B,\angle A$都是锐角，
$\therefore\angle A = 45^{\circ},\angle B = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle C = 180^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}=105^{\circ}$.

16.在$\triangle ABC$中，已知$\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B$为锐角，且$\tan A$，$\cos B$恰为一元二次方程$2x^{2}-3mx + 3 = 0$的两个实数根.求$m$的值并判断$\triangle ABC$的形状.

答案：
解：$\because\angle A = 60^{\circ}$，
$\therefore\tan A=\sqrt{3}$，
把$x = \sqrt{3}$代入方程$2x^{2}-3mx + 3 = 0$，
得$2\times(\sqrt{3})^{2}-3\sqrt{3}m + 3 = 0$，
解得$m=\sqrt{3}$，
把$m=\sqrt{3}$代入方程$2x^{2}-3mx + 3 = 0$，
得$2x^{2}-3\sqrt{3}x + 3 = 0$，
解得$x_{1}=\sqrt{3},x_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2},\therefore\angle B = 30^{\circ}$，
$\therefore\angle C = 180^{\circ}-\angle A-\angle B = 90^{\circ}$，
$\therefore\triangle ABC$是直角三角形.

17.[推理能力]观察下列等式：
①$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$，$\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$；
②$\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
③$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)根据上述规律，计算$\sin^{2}\alpha+\sin^{2}(90^{\circ}-\alpha)=$__________；
(2)计算：$\sin^{2}1^{\circ}+\sin^{2}2^{\circ}+\sin^{2}3^{\circ}+\cdots+\sin^{2}89^{\circ}$.

答案： 解：
(1)1.
(2)由
(1)中结论可得，
$\sin^{2}1^{\circ}+\sin^{2}2^{\circ}+\sin^{2}3^{\circ}+\cdots+\sin^{2}89^{\circ}$
$=(\sin^{2}1^{\circ}+\sin^{2}89^{\circ})+(\sin^{2}2^{\circ}+\sin^{2}88^{\circ})+\cdots+\sin^{2}45^{\circ}$
$=1 + 1+\cdots+1+\frac{1}{2}$
$=44+\frac{1}{2}$
$=\frac{89}{2}$.