《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

8. 在△ABC中，∠ABC = 30°，AB = √3，AC = 1，则∠ACB的度数为_________.

答案： $60^{\circ}$或$120^{\circ}$

9. 如图，在△ABC中，AB = AC = 5，∠A = 120°，则BC的长是（ ）
　
A. 8
B. 5√2
C. 5√3
D. 10√3/3

答案： C

10. [2024朔州一模]如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以9点整时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处. 若OA = 10，则点A的坐标为（ ）
　
A. (5√3, 5)
B. (5, 5√3)
C. (5√2, 5)
D. (5√3, 5√2)

答案： A

11. 如图，已知∠ACB = 90°，AC = 10，OB = 17，cos∠OBC = 3/5，则点C的坐标为（ ）
　
A. (8, 27/4)
B. (8, 12)
C. (6, 33/4)
D. (6, 10)

答案：
B
详解: 如图所示,过点C作CD⊥x轴于点D, CE⊥y轴于点E,
$\because \angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle AOB = 90^{\circ}$,
$\therefore \angle OBC+\angle OAC = 180^{\circ}$,
$\because \angle EAC+\angle OAC = 180^{\circ}$,
$\therefore \angle EAC = \angle OBC$,
$\because AC = 10$, $\cos\angle OBC=\frac{3}{5}$,
$\therefore \cos\angle EAC=\frac{EA}{AC}=\frac{EA}{10}=\frac{3}{5}$,
$\therefore EA = 6$,
$\therefore EC=\sqrt{AC^{2}-EA^{2}} = 8$,
易得$OD = EC = 8$.
$\because OB = 17$,
$\therefore BD = 9$,
$\because \cos\angle OBC=\frac{BD}{CB}=\frac{3}{5}$,
$\therefore CB = 15$,
$\therefore CD=\sqrt{CB^{2}-DB^{2}}=\sqrt{15^{2}-9^{2}} = 12$
$\therefore C(8, 12)$.

12. 如图，在□ABCD中，∠AOB = 120°，BD = 20，则□ABCD的面积为__________.
　　　　　　

答案： $50\sqrt{3}$

13. [2024达州改编]如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°. 点D在线段BC上，∠BAD = 45°. 若tan∠ADC = 4，CD = 1，求△ABC的面积.
　　　　　　　　　　　

答案：
解: 如图, 延长AD, 过点B向AD的延长线作垂线, 垂足记为E
则$\angle BDE=\angle ADC$,
$\therefore \tan\angle BDE=\tan\angle ADC = 4$.
在Rt△ACD中, $\tan\angle ADC = 4$, $CD = 1$,
$\therefore AC = CD\cdot\tan\angle ADC = 4$,
$\therefore AD=\sqrt{AC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{17}$.
在Rt△BED中,设$DE = x$,
则$BE = DE\cdot\tan\angle BDE = 4x$,
$\therefore BD=\sqrt{BE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{17}x$.
在Rt△BEA中, $\angle BAD = 45^{\circ}$,
$\therefore AE = BE = 4x$,
又$\because AE = AD + DE=\sqrt{17}+x$,
$\therefore 4x=\sqrt{17}+x$,解得$x=\frac{\sqrt{17}}{3}$,
$\therefore BD=\sqrt{17}x=\frac{17}{3}$,
$\therefore BC = BD + CD=\frac{17}{3}+1=\frac{20}{3}$,
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{40}{3}$.

14. [推理能力·2024太原三模]如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠A = 30°，AB = 2，过点C作CD₁⊥AB于D₁，过点D₁作D₁D₂⊥AC于D₂，过点D₂作D₂D₃⊥AB于D₃，过点D₃作D₃D₄⊥AC于D₄，……，按此方法得到的D₇D₈的长为__________.
　　　　　　

答案：
$\frac{81}{256}$
详解: $\because \angle ACB = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$,
$\therefore \angle B = 60^{\circ}$, $BC=\frac{1}{2}AB = 1$.
$\because CD_{1}\perp AB$,
$\therefore \angle BCD_{1}=30^{\circ}$,
在Rt△BCD_{1}中, $\angle BD_{1}C = 90^{\circ}$, $BC = 1$, 则$CD_{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
在Rt△CD_{1}D_{2}中,
$D_{1}D_{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}CD_{1}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}$;
进而可得, $D_{2}D_{3}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}$; …….
$\therefore D_{n}D_{n + 1}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{n + 1}$.
$\therefore D_{7}D_{8}=(\frac{\sqrt{3}}{2})^{8}=\frac{81}{256}$.