《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

12. 如图，在由小正方形组成的网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在小正方形的顶点上，则∠AOB的正弦值是（ ）

A. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： B

13. [2024资阳]第14届国际数学教育大会（ICME - 14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD. 若EF : AH = 1 : 3，则sin∠ABE =（ ）

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： C

14. 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，AD平分∠BAC，BE⊥AC，垂足为点E.若AB = AC = 8，BC = 6，求sin∠EBC的值.

答案： 解:
∵AB = AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∵BE⊥AC，
∴∠ADC = ∠BEC = 90°，
∵∠ACD = ∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠DAC = ∠EBC，
∵AB = AC = 8，BC = 6，
∴$CD=\frac{1}{2}BC = 3$，
∴$\sin\angle EBC=\sin\angle DAC=\frac{CD}{AC}=\frac{3}{8}$.

15. 如图，AB是⊙O的直径，EF与⊙O相切于点E，点C在⊙O上，连接CA，CB，且∠CAB = 2∠EAB，点F在线段AB的延长线上.
(1)求证：∠ABC = ∠AFE；
(2)若BF = 1，sin∠AFE = $\frac{4}{5}$，求BC的长.

答案： 解:
(1)证明:如图，连接OE，
易知∠FOE = 2∠EAB，
∵∠CAB = 2∠EAB，
∴∠CAB = ∠FOE，
∵EF与⊙O相切于点E，OE为半径，
∴OE⊥EF，
∴∠OEF = 90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠CAB + ∠ABC = ∠FOE + ∠AFE，
∴∠ABC = ∠AFE.
(2)设⊙O的半径为r，
则OE = OB = r，OF = r + 1，
∵$\sin\angle AFE=\frac{4}{5}=\frac{OE}{OF}=\frac{r}{r + 1}$，
∴r = 4，
∴AB = 2r = 8，
在Rt△ABC中，
$\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\sin\angle AFE=\frac{4}{5}$，
∴$AC=\frac{4}{5}\times8=\frac{32}{5}$，
∴$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\frac{24}{5}$.

16. 如图，有一张面积为10的三角形纸片ABC，AB = AC，把它剪拼成一个矩形(无缝隙、不重叠)，矩形的一边与AB平行，且矩形的周长为13，则sin A的值为________.

答案： $\frac{4}{5}$或$\frac{5}{16}$
详解:由题意知,EQ=CD,$EF=\frac{1}{2}AB$,设AB = a，CD = b，
则$\begin{cases}\frac{1}{2}ab = 10,\\a + 2b = 13,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 5,\\b = 4\end{cases}$或$\begin{cases}a = 8,\\b=\frac{5}{2}\end{cases}$，
∴AC = AB = 5，CD = 4或AC = AB = 8，$CD=\frac{5}{2}$，
∴$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{4}{5}$或$\sin A=\frac{CD}{AC}=\frac{\frac{5}{2}}{8}=\frac{5}{16}$.