《2025年53精准练九年级数学下册人教版山西专版》

12.[2023太原期末]综合与探究
　如图1,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A，C分别在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$与$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,顶点B在x轴正半轴上.已知顶点A的横坐标为1.
　　　　　　　　　 　　
　(1)直接写出点A，B的坐标;
　(2)求反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的表达式;
　(3)如图2,点M是反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$图象上的一个动点,设点M的横坐标为m,过点M作x轴的垂线交$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象于点N,垂足为点E,连接BM,BN,若∠MBN = 90°,直接写出m的值.

答案：
12.解:
(1)A(1,2),B(5,0).
(2)过点A,C分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H,

∵点A的坐标为(1,2)，
∴OG=1,AG=2.
∵四边形OABC是矩形，
∴OA//BC,OA=BC,
∴∠AOG=∠CBH,
∵∠OGA=∠CHB=90°,
∴△AOG≌△CBH;
∴OG=BH=1,AG=CH=2.
∵OB=5,
∴OH=OB−BH=4.
∴点C的坐标为(4,−2).
∵点C(4,−2)在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上，
∴−2=$\frac{k}{4}$,解得k=−8.
∴反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的表达式为y=$-\frac{8}{x}$(x＞0).
(3)m的值为1或4或$\frac{5+\sqrt{41}}{2}$.