《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

11. 设计一条美丽的丝带，其造型“”可以看作图中的曲线$C$的一部分。已知$C$过坐标原点$O$，且$C$上的点满足：横坐标大于$-2$；到点$F(2,0)$的距离与到定直线$x = a(a\lt0)$的距离之积为$4$。则（ ）

A. $a = -2$
B. 点$(\sqrt{2},0)$在$C$上
C. $C$在第一象限的点的纵坐标的最大值  为$1$
D. 当点$(x_0,y_0)$在$C$上时，$y_0\leq\frac{4}{x + 2}$

答案： 11.ABD　[命题点]新定义曲线方程的求解及相关性质
[深度解析]设曲线$C$上任一点$(x,y)$，由$C$上的点到点$F(2,0)$的距离与到定直线$x = a(a＜0)$的距离之积为$4$，可得$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}\cdot\sqrt{(x - a)^2}=4$，又因为$C$过坐标原点，所以$\sqrt{(0 - 2)^2 + 0^2}\cdot\sqrt{(0 - a)^2}=4$，得$\vert a\vert = 2$。又因为$a＜0$，所以$a = - 2$，故A正确。
由A选项可得，曲线$C$的方程为$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}\cdot\sqrt{(x + 2)^2}=4(x＞ - 2)$，即$y^2=\frac{16}{(x + 2)^2}-(x - 2)^2(x＞ - 2)$，将点$(2\sqrt{2},0)$的坐标代入上式，得$0^2=\frac{16}{(2\sqrt{2} + 2)^2}-(2\sqrt{2} - 2)^2$，成立，所以点$(2\sqrt{2},0)$在$C$上，故B正确。
令$g(x)=\frac{16}{(x + 2)^2}-(x - 2)^2(x＞0)$，则$g^\prime(x)=\frac{-2[16+(x - 2)(x + 2)^3]}{(x + 2)^3}$，令$h(x)=(x - 2)(x + 2)^2 + 16$，则$h^\prime(x)=4(x + 2)(x - 1)$，所以$h(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，又$h(0)=0$，$h(1)= - 11＜0$，$h(2)=16＞0$，所以存在$m\in(1,2)$，使得$h(m)=0$。所以$g(x)$在$(0,m)$上单调递增，在$(m,+\infty)$上单调递减，所以$g(x)$在$x = m$处取得极大值，也是最大值，所以$g(x)_{max}=g(m)＞g(2)=1$，所以$C$在第一象限的点的纵坐标的最大值大于$1$，故C错误。
因为点$(x_0,y_0)$在$C$上，所以$y_0^2=\frac{16}{(x_0 + 2)^2}-(x_0 - 2)^2(x_0＞ - 2)$，由$x_0＞ - 2$可知$(x_0 - 2)^2\geq0$，所以$y_0^2\leq\frac{16}{(x_0 + 2)^2}$，又$x_0＞ - 2$，所以$x_0 + 2＞0$，所以$0\leq\vert y_0\vert\leq\frac{4}{x_0 + 2}$，所以$\vert y_0\vert\leq\frac{4}{x_0 + 2}$成立，故D正确。故选ABD。
快解
A，B，D选项分析同上；C选项，可用特值法，取$C$上第一象限的点$(1.5,y)$，$y＞0$，则$y^2=\frac{16}{3.5^2}-(-0.5)^2\approx1.056＞1$，所以$y＞1$，故C错误。

12. 设双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过$F_2$作平行于$y$轴的直线交$C$于$A,B$两点。若$\vert F_1A\vert = 13$，$\vert AB\vert = 10$，则$C$的离心率为______。

答案：
12.$\frac{3}{2}$　[命题点]双曲线离心率的求解
[深度解析]因为$AB$与$y$轴平行，所以$AB$与$x$轴垂直，结合双曲线的对称性知$\vert AF\vert = \vert BF\vert = 5$。又$\vert F_1A\vert = 13$，所以$\vert F_1F_2\vert=\sqrt{\vert F_1A\vert^2 - \vert AF\vert^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$，则$c = 6$，而$2a = \vert F_1A\vert - \vert AF\vert = 13 - 5 = 8$，所以$a = 4$，所以离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{2}$。

13. 若曲线$y = e^x + x$在点$(0,1)$处的切线也是曲线$y = \ln(x + 1) + a$的切线，则$a = $______。

答案： 13.$\ln2$　[命题点]导数的几何意义
[深度解析]令$f(x)=e^x + x$，则$f^\prime(x)=e^x + 1$，所以曲线$y = e^x + x$在点$(0,1)$处的切线斜率为$f^\prime(0)=2$，所以切线方程为$y = 2x + 1$。令$g(x)=\ln(x + 1)+a$，则$g^\prime(x)=\frac{1}{x + 1}$，因为直线$y = 2x + 1$也是曲线$y = g(x)$的切线，所以令$\frac{1}{x + 1}=2$，解得$x = -\frac{1}{2}$，则曲线$y = g(x)$与直线$y = 2x + 1$的切点坐标为$(-\frac{1}{2},0)$，所以$0 = a - \ln2$，解得$a = \ln2$。

14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字$1,3,5,7$，乙的卡片上分别标有数字$2,4,6,8$。两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得$1$分，数字小的人得$0$分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。则四轮比赛后，甲的总得分不小于$2$的概率为______。

答案：
14.$\frac{1}{2}$　[命题点]古典概型的概率计算，排列组合的应用
[深度解析]列举法：假设乙固定按照$2$，$4$，$6$，$8$的顺序，则甲所有的可能如表所示。

从中找均小于$2$，$4$，$6$，$8$与有$3$个数字分别小于$2$，$4$，$6$，$8$的情况，此时甲得$0$分或$1$分，符合上述情况的有表中打√的$12$种情况。
那么甲的总得分不小于$2$分也有$12$种情况，由古典概型概率公式得所求概率为$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$（说明：固定乙的顺序，将甲的情况排列出来，去挑选，也可以从中判断甲有$2$个及以上的数字超过乙的。如果改变乙的顺序，其情况是类似的）。
一题多解：甲、乙依次为$1$，$3$，$5$，$7$，此时乙有$A_{4}^4 = 24$（种）选法。甲可能得$0$，$1$，$2$，$3$分，但不可能得$4$分。
当甲得$2$分时，
若甲第二、三轮的数字大，则有$1$种选法；
若甲第二、四轮的数字大，则有$A_{2}^2 + 1 = 3$（种）选法；
若甲第三、四轮的数字大，则有$A_{2}^2A_{2}^2 + 1 + A_{2}^2 = 7$（种）选法，
共有$1 + 3 + 7 = 11$（种）选法。
当甲得$3$分时，甲第一轮的数字小，其他三轮的数字大，有$1$种选法。
故甲的总得分不小于$2$的概率$P=\frac{11 + 1}{24}=\frac{1}{2}$。

15. （$13$分）记$\triangle ABC$的内角$A,B,C$的对边分别为$a,b,c$。已知$\sin C = \sqrt{2}\cos B$，$a^2 + b^2 - c^2 = \sqrt{2}ab$。
(1) 求$B$；
(2) 若$\triangle ABC$的面积为$3 + \sqrt{3}$，求$c$。

答案： 15.[命题点]正余弦定理、三角形面积公式的应用、两角和的正弦公式
[解]
(1)已知$a^2 + b^2 - c^2=\sqrt{2}ab$，则有$\cos C=\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
又$C\in(0,\pi)$，所以$C=\frac{\pi}{4}$。 3分
又$\sin C=\sqrt{2}\cos B$，所以$\cos B=\frac{\sin C}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
又$B\in(0,\pi)$，所以$B=\frac{\pi}{3}$。 5分
(2)由
(1)可得$C=\frac{\pi}{4}$，$B=\frac{\pi}{3}$，由正弦定理，不妨令$\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}=k(k＞0)$，则有$c=\frac{\sqrt{2}}{2}k$，$b=\frac{\sqrt{3}}{2}k$。 8分
又$S_{\triangle ABC}=3\sqrt{3}$，
所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}bc\sin(B + C)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}k\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}k(\sin B\cos C+\cos B\sin C)=\frac{\sqrt{6}}{8}k^2(\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{\sqrt{6}}{8}k^2\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=3+\sqrt{3}$，解得$k = 4$（负值舍去），故$c=\frac{\sqrt{2}}{2}k = 2\sqrt{2}$。 13分