《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

14.已知O为坐标原点，抛物线C:y² = 2px(p＞0)的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP。若|FQ| = 6，则C的准线方程为________.

答案： 14.$x=-\frac{3}{2}$　[命题点]抛物线的几何性质
[深度解析]由题意，不妨设$P(\frac{p}{2},p)$，$Q(x,0)$。因为$PQ\perp OP$，所以$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{OP}=(x - \frac{p}{2},-p)\cdot(\frac{p}{2},p)=\frac{p}{2}(x - \frac{p}{2})-p^{2}=0$，即$x-\frac{5}{4}p = 0$，解得$x=\frac{5}{2}p$。又$|FQ| = 6$，即$\frac{5}{2}p-\frac{p}{2}=6$，解得$p = 3$，所以抛物线$C$的准线方程为$x=-\frac{3}{2}$。
一题多解
因为$PF$与$x$轴垂直，所以不妨设$P(\frac{p}{2},p)$。又因为$PQ\perp OP$，$PF\perp OQ$，所以$\frac{|FQ|}{|PF|}=\frac{|PF|}{|OF|}=2$，即$\frac{6}{p}=2$，解得$p = 3$，则$C$的准线方程为$x=-\frac{3}{2}$。

15.函数f(x) = |2x - 1| - 2lnx的最小值为________.

答案：
15.1
思路导引：根据绝对值定义去绝对值，写成分段函数形式→分段求解最小值→$f(x)$的最小值。
[命题点]含绝对值函数的最值
[深度解析]由题意得$f(x)=\begin{cases}2x - 1 - 2\ln x,x\gt\frac{1}{2}\\1 - 2x - 2\ln x,0\lt x\leq\frac{1}{2}\end{cases}$
当$x\gt\frac{1}{2}$时，$f^\prime(x)=2-\frac{2}{x}=\frac{2x - 2}{x}$，则当$x\in(\frac{1}{2},1)$时，$f^\prime(x)\lt0$，所以$f(x)$在$(\frac{1}{2},1)$上单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$f^\prime(x)\gt0$，所以$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增。所以当$x\gt\frac{1}{2}$时，$f(x)_{min}=f(1)=1$。当$0\lt x\leq\frac{1}{2}$时，$f^\prime(x)=-2-\frac{2}{x}=\frac{-2x - 2}{x}$，则$f^\prime(x)\lt0$在$(0,\frac{1}{2}]$上恒成立，所以$f(x)$在$(0,\frac{1}{2}]$上单调递减，所以当$0\lt x\leq\frac{1}{2}$时，函数$f(x)_{min}=f(\frac{1}{2})=2\ln2=\ln4\gt1$。综上可知，函数$f(x)$的最小值为1。
快解
$f(x)\geq|(2x - 1)-(2x - 2)| = 1$，当且仅当$x = 1$时，等号成立，故$f(x)$的最小值为1。
学霸解题技巧
北京大学韩茹冰
本题的函数含绝对值和对数，直接求导找单调区间较难，可考虑将两部分分离，设$g(x)=|2x - 1|$，$h(x)=2\ln x$，作出$g(x)$和$h(x)$的图像如图所示。易知$f(x)$的最小值在$x\gt\frac{1}{2}$时取得。令$h^\prime(x)=\frac{2}{x}=2$，解得$x = 1$，则$f(x)_{min}=g(1)-h(1)=1$。

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S₁ = 240dm²,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S₂ = 180dm²,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________;如果对折n次,那么∑ₖ₌₁ⁿSₖ = ________dm².

答案： $\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=240(3 - \frac{n + 3}{2^{n}})$
[命题点]数列的通项公式及错位相减法求和
[深度解析]记对折$n$次可以得到不同规格图形的种数为数列$\{a_{n}\}$，依题意有$a_{1}=2$，$a_{2}=3$，对折$3$次，可以得到$2.5dm\times12dm$，$5dm\times6dm$，$10dm\times3dm$，$20dm\times1.5dm$四种规格的图形，即$a_{3}=4$；对折$4$次，可以得到$1.25dm\times12dm$，$2.5dm\times6dm$，$5dm\times3dm$，$10dm\times1.5dm$，$20dm\times0.75dm$五种规格的图形，即$a_{4}=5$。于是数列$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=n + 1$。
记对折$n$次可以得到不同规格图形的面积之和为$\{S_{n}\}$，依题意有$S_{1}=2\times120 = 240$，$S_{2}=3\times60 = 180$，$S_{3}=4\times30 = 120$，$S_{4}=5\times15 = 75$，于是数列$\{S_{n}\}$的通项公式为$S_{n}=120(n + 1)(\frac{1}{2})^{n - 1}$。
则$\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=120[2\times1 + 3\times\frac{1}{2} + 4\times\frac{1}{2^{2}} + \cdots + n\times\frac{1}{2^{n - 2}} + (n + 1)\times\frac{1}{2^{n - 1}}]$，
所以$\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=120[2\times\frac{1}{2} + 3\times\frac{1}{2^{2}} + 4\times\frac{1}{2^{3}} + \cdots + n\times\frac{1}{2^{n - 1}} + (n + 1)\times\frac{1}{2^{n}}]$。
两式作差得：
$\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=120[2\times1 + 1\times\frac{1}{2} + 1\times\frac{1}{2^{2}} + 1\times\frac{1}{2^{3}} + \cdots + 1\times\frac{1}{2^{n - 1}} - (n + 1)\times\frac{1}{2^{n}}]$
$=120[2 + \frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^{n - 1}})}{1 - \frac{1}{2}} - (n + 1)\times\frac{1}{2^{n}}]$
$=120[2 + 1 - \frac{1}{2^{n - 1}} - (n + 1)\times\frac{1}{2^{n}}]$
$=120[3 - \frac{n + 3}{2^{n}}]$
所以$\sum_{k = 1}^{n}S_{k}=240(3 - \frac{n + 3}{2^{n}})$。

17.(本小题满分10分)已知数列{aₙ}满足a₁ = 1,aₙ₊₁ =
　{ aₙ + 2,n为奇数;
　{ aₙ + 1,n为偶数.
　(1)记bₙ = a₂ₙ,写出b₁,b₂,并求数列{bₙ}的通项公式;
　(2)求{aₙ}的前20项和.

答案：

18.(本小题满分12分)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.
　已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
　(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列.
　(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

答案： [命题点]离散型随机变量的分布列与数学期望、方案的选择
[解]
(1)由题知，X的所有可能取值为0,20,100，
　则P(X=0)=0.2,P(X=20)=0.8×0.4=0.32,P(X=100)=
　0.8×0.6=0.48,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分所以X的分布列为
　　　X　　　　　0　　　　20　　　　100
　　　P　　　　0.2　　　0.32　　　0.48　　　　　　　5分
(2)小明应选择先回答B类问题，理由如下:
　由
(1)知,E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100，　　　　　　　　　　　　　　　　8分则P(Y=0)=0.4,P(Y=80)=0.6×0.2=0.12,P(Y=100)=
　0.6×0.8=0.48,　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6＞54.4,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分所以小明应选择先回答B类问题.　　　　　　　　　　　12分易错警示是100分，而不是第二道问题回答正确的分数;二是忘记相互独立事件的概率公式导致求概率出错.