《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

21.(本小题满分12分)已知椭圆E:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$，点M(2,3)在E上，A为E的左顶点，直线AM的斜率为$\frac{1}{2}$。
　(1)求E的方程；
　(2)设N为E上的点，求△AMN面积的最大值。

答案：
21.[命题点]椭圆方程及直线与椭圆的位置关系的应用
[解]
(1)由题意可知直线AM的方程为y - 3 = $\frac{1}{2}$(x - 2)，即x - 2y + 4 = 0。
当y = 0时，解得x = -4，所以a = 4。
将点M(2, 3)的坐标代入椭圆E的方程，可得$\frac{4}{16}$ + $\frac{9}{b^{2}}$ = 1，解得b² = 12。
所以E的方程为$\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{12}$ = 1。
(2)设与直线AM平行的直线的方程为x - 2y = m(m ≠ -4)，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值。

联立直线方程x - 2y = m(m ≠ -4)与椭圆方程$\frac{x^{2}}{16}$ + $\frac{y^{2}}{12}$ = 1，可得16y² + 12my + 3m² - 48 = 0。
所以△ = 144m² - 4×16(3m² - 48) = 0，即m² = 64，解得m = ±8。
所以与AM距离比较远的直线方程为x - 2y - 8 = 0。
点N到直线AM的距离即为两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得d = $\frac{|-8 + 4|}{\sqrt{1 + 4}}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
由两点之间的距离公式可得|AM| = $\sqrt{(2 + 4)^{2} + 3^{2}}$ = 3$\sqrt{5}$。
所以△AMN的面积的最大值为$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{5}$×$\frac{4\sqrt{5}}{5}$ = 6。

22.(本小题满分12分)已知函数$f(x)=ae^{-x}-\ln x+\ln a$。
　　(1)当$a = e$时，求曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
　　(2)若$f(x)\geq1$，求$a$的取值范围。

答案： 22.[命题点]导数的几何意义和根据不等式求参数范围
[解]f(x)的定义域为(0,+∞)，f'(x)=ae^(x - 1) - 1/x。 1分
(1)当a = e时，f(x)=e^x - lnx + 1，f
(1)=e - 1，曲线y = f(x)在点(1, f
(1))处的切线方程为y - (e - 1)=(e - 1)(x - 1)，即y=(e - 1)x + 2。 4分
直线y=(e - 1)x + 2在x轴，y轴上的截距分别为 - 2/(e - 1)，2。 5分
因此所求三角形的面积为2/(e - 1)。 6分
(2)当0 ＜ a ＜ 1时，f
(1)=a + lna ＜ 1。 7分
当a = 1时，f(x)=e^(x - 1) - lnx，f'(x)=e^(x - 1) - 1/x。当x∈(0,1)时，f'(x) ＜ 0；当x∈(1,+∞)时，f'(x) ＞ 0，所以当x = 1时，f(x)取得最小值，最小值为f
(1)=1。 10分
从而f(x)≥1。
当a ＞ 1时，f(x)=ae^(x - 1) - lnx + lna≥e^(x - 1) - lnx≥1。 11分
综上，a的取值范围是[1,+∞)。 12分
(由lna知a ＞ 0，当a = 1时，由导函数图像可判断f(x)≥1恰好成立，当a ＞ 1时，a越大，y = ae^(x - 1)图像越陡，可知f(x)≥1必然成立，故可知需根据a和1的大小分类讨论；当0 ＜ a ＜ 1时，a + lna ＜ 1，当a ＞ 1时，e^(x - 1) - lnx≥1，当a = 1时，可根据求导判断函数f(x)单调性并得出最值)
一题多解
(2)由f(x)≥1得ae^(x - 1) - lnx + lna≥1，
即e^(lna + x - 1) - lnx + lna≥1，
e^(lna + x - 1) + lna + x - 1≥lnx + x = e^(lnx) + lnx。 7分
令g(t)=e^t + t，则有g(lna + x - 1)≥g(lnx)，g'(t)=e^t + 1 ＞ 0，
所以g(t)在R上单调递增，
则lna + x - 1≥lnx在(0,+∞)上恒成立，
即lna≥lnx - x + 1在(0,+∞)上恒成立，
只需lna≥(lnx - x + 1)max。 8分
令h(x)=lnx - x + 1，x ＞ 0，则h'(x)=1/x - 1=(1 - x)/x
令h'(x) ＞ 0，得0 ＜ x ＜ 1；令h'(x) ＜ 0，得x ＞ 1，
则h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。 10分
所以h(x)≤h
(1)=0，则lna≥0，得a≥1。
故a的取值范围是[1,+∞)。 12分