《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

18. (13分)为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示。在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“ - ”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同。

用频率估计概率。
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响，判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大。(结论不要求证明)

答案： [命题点]用频率估计概率、相互独立事件的概率
[解]
(1)根据表格数据可以看出，40天里有16个“+”，也就是说有16天是上涨的，所以可估计该农产品价格上涨的概率为$\frac{16}{40}$ = 0.4. 4分
(2)在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，所以可估计该农产品价格上涨、下跌、不变的概率分别是0.4，0.35，0.25. 7分
于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是$C_{4}^{2}$×0.4²×$C_{2}^{1}$×0.35×0.25 = 0.168. 10分
(3)由于第40天处于上涨状态，从前39天的15天上涨进行分析，上涨后第二天仍上涨的有4天，不变的有9天，下跌的有2天，因此估计第41天不变的概率最大. 13分

19. (15分)已知椭圆E:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$,A,C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,$|AC| = 4$.
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线$y = - 2$交于点N.求证:$MN// CD$.

答案： 19.[命题点]椭圆的标准方程、直线与直线的位置关系
(1)[解]由题设，得$\begin{cases}2b = 4\\\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\\a^{2}=b^{2}+c^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 3\\b = 2\\c=\sqrt{5}\end{cases}$。
所以椭圆E的方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$。5分
(2)[证明]设$P(x_0,y_0)$，其中$x_0＞0$，$y_0＞0$，且满足$\frac{x_0^{2}}{9}+\frac{y_0^{2}}{4}=1$。
由
(1)知，$A(0,2)$，$B(-3,0)$，$C(0,-2)$，$D(3,0)$。
所以直线BC的方程为$y = -\frac{2}{3}x - 2$，直线PD的方程为$y=\frac{y_0}{x_0 - 3}(x - 3)$。8分
由$\begin{cases}y=\frac{y_0}{x_0 - 3}(x - 3)\\y = -\frac{2}{3}x - 2\end{cases}$，解得点M的横坐标$x_M=\frac{-6x_0 + 9y_0 + 18}{2x_0 + 3y_0 - 6}$。
直线AP的斜率为$\frac{y_0 - 2}{x_0}$，所以直线AP的方程为$y=\frac{y_0 - 2}{x_0}x + 2$。因为直线AP与直线$y = -2$交于点N，所以点N的横坐标$x_N=\frac{-4x_0}{y_0 - 2}$。
所以直线MN的斜率$k_{MN}=\frac{-\frac{2}{3}x_M - 2 - (-2)}{x_M - x_N}=\frac{-\frac{2}{3}x_M}{x_M - x_N}$。
又因为直线CD的斜率$k_{CD}=\frac{2}{3}$。
所以$k_{MN}-k_{CD}=\frac{-\frac{2}{3}x_M}{x_M - x_N}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\times\frac{-2x_M + x_N}{x_M - x_N}$。10分
因为$-2x_M + x_N=\frac{12x_0 - 18y_0 - 36}{2x_0 + 3y_0 - 6}+\frac{-4x_0}{y_0 - 2}$
$=\frac{(12x_0 - 18y_0 - 36)(y_0 - 2)-4x_0(2x_0 + 3y_0 - 6)}{(2x_0 + 3y_0 - 6)(y_0 - 2)}$
$=\frac{12x_0(y_0 - 2)-18(y_0^{2}-4)-8x_0^{2}-12x_0(y_0 - 2)}{(2x_0 + 3y_0 - 6)(y_0 - 2)}$
$=\frac{-8x_0^{2}-18y_0^{2}+72}{(2x_0 + 3y_0 - 6)(y_0 - 2)}$。12分
因为$\frac{x_0^{2}}{9}+\frac{y_0^{2}}{4}=1$，即$4x_0^{2}+9y_0^{2}=36$。
所以$-2x_M + x_N = 0$，即$k_{MN}-k_{CD}=0$。
显然，直线CD与MN不重合，所以$MN// CD$。15分