《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

1.已知全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {1, 3}，B = {1, 2, 4}，则(∁₍U₎B) ∪ A = 　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. {1, 3, 5}　　　　　　　
　B. {1, 3}
C. {1, 2, 4}　　　　　　　
　D. {1, 2, 4, 5}

答案： A [命题点]集合的补集和并集运算
[深度解析]因为全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，集合A = {1, 3}，B = {1, 2, 4}，所以∁₍U₎B = {3, 5}，所以A ∪ ∁₍U₎B = {1, 3, 5}，故选A。

2.已知a, b ∈ R，则“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的　(　　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： B [命题点]充分、必要条件的判断
[深度解析]依题意可知，若a² = b²，则a = b或a = -b。当a = b时，a² + b² = 2ab；当a = -b时，a² + b² ≠ 2ab。若a² + b² = 2ab，即(a - b)² = 0，则a = b，所以a² = b²。所以“a² = b²”是“a² + b² = 2ab”的必要不充分条件。故选B。

3.设a = 1.01⁰.⁵，b = 1.01⁰.⁶，c = 0.6⁰.⁵，则a, b, c的大小关系为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. a ＜ b ＜ c　　　　　　　　
　B. b ＜ a ＜ c
C. c ＜ b ＜ a　　　　　　　　
　D. c ＜ a ＜ b

答案： D [命题点]利用指数函数的单调性比较大小
[深度解析]依题意，函数y = 1.01ˣ在R上单调递增，因为0＜0.5＜0.6，所以1＜1.01⁰.⁵＜1.01⁰.⁶，即a＜b。又c = 0.6⁰.⁵ = $\sqrt{\frac{6}{10}}$ = $\frac{\sqrt{15}}{5}$＜1，所以c＜a＜b。故选D。

4. 已知函数$y = f(x)$的部分图像如图,则$f(x)$的解析式可能为　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　
　
A.$\frac{5e^{-x}-5e^{x}}{x^{2}+2}$　　　　　　　　B.$\frac{5\sin x}{x^{2}+1}$
　
C.$\frac{5e^{x}+5e^{-x}}{x^{2}+2}$　　　　　　　　D.$\frac{5\cos x}{x^{2}+1}$
　　　　　　　　　　　　　

答案： 4.D　[命题点]函数的奇偶性，由函数的图像判断解析式
[深度解析]由题图知函数$f(x)$是偶函数。各选项函数性质分析如下:
|选项|奇偶性|特殊点函数值|正误|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|A|$f(-x)=\frac{5e^{-x}-5e^{x}}{x^{2}+2}=-f(x)$，奇函数| |×|
|B|$f(-x)=\frac{-5\sin x}{x^{2}+1}=-f(x)$，奇函数| |×|
|C|$f(-x)=\frac{5e^{-x}+5e^{x}}{x^{2}+2}=f(x)$，偶函数|$f(x)＞0$|×|
|D|$f(-x)=\frac{5\cos x}{x^{2}+1}=f(x)$，偶函数|$f(2)=\frac{5\cos 2}{2^{2}+1}=\cos 2＜0$|√|
故选D。

5. 已知数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$。若$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=2S_{n}+2 (n\in N^{*})$，则$a_{4}=$　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. 16　　　
　B. 32　　　
　C. 54　　　
　D. 162

答案： 5.C　[命题点]数列的前n项和与通项的关系，等比数列的判断及其通项
[深度解析]由题意知，当$n = 1$时，$a_{2}=2S_{1}+2 = 2a_{1}+2$，因为$a_{1}=2$，所以$a_{2}=6$；当$n\geq2$时，$a_{n + 1}=2S_{n}+2$，则$a_{n}=2S_{n - 1}+2$，两式相减得$a_{n + 1}-a_{n}=2(S_{n}-S_{n - 1}) = 2a_{n}$，即$a_{n + 1}=3a_{n}$。又$a_{2}=3a_{1}$，所以$\{a_{n}\}$是以$2$为首项，$3$为公比的等比数列，所以$a_{4}=a_{1}q^{3}=2\times3^{3}=54$，故选C。

6.函数f(x)的图像关于直线x = 2对称，且f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可以是　　　　　　(　　　)
A.f(x)=sin($\frac{\pi x}{2}$)　　　　　
　B.f(x)=cos($\frac{\pi x}{2}$)
C.f(x)=sin(x)　　　　
　D.f(x)=cos(x)

答案： 6.B　[命题点]三角函数的图像与性质
[深度解析]各选项分析如下:
选项 解析式 对称轴方程 周期 正误
A f(x)=sin(πx/2) x=k+1/2,k∈Z 4 ×
B f(x)=cos(πx/2) x=k,k∈Z 4 √
C f(x)=sin(πx/4) x=2k+1,k∈Z 8 ×
D f(x)=cos(πx/4) x=4k,k∈Z 8 ×
故选B.

7.鸢是鹰科的一种鸟，《诗经.大雅.旱麓》曰“鸢飞戾天，鱼跃于渊”。鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名(图1)，寓意鹏程万里、前途无量。通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度(单位:cm)，绘制对应散点图(图2)如图所示:
　
计算得样本相关系数为0.8642，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为$\hat{y}$ = 0.7501x + 0.6105。根据以上信息，如下判断正确的为　　　　　　　　(　　　)
A.花萼长度和花瓣长度不存在相关关系
B.花萼长度和花瓣长度负相关
C.花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值约为5.8612cm
D.若选取其他品种鸢尾花进行抽样，所得花萼长度与花瓣长度的样本相关系数一定为0.8642

答案： 7.C　[命题点]散点图、样本的线性相关、经验回归方程及相关系数
[深度解析]由题中散点图可知这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随花萼长度的增加，相应的花瓣长度呈增加的趋势，由成对样本数据的分布规律可知两者呈线性相关关系，且为正相关，故A、B错误。因为花瓣长度关于花萼长度的经验回归方程为$\hat{y}$ = 0.7501x + 0.6105，所以当x = 7时，$\hat{y}$ = 0.7501×7 + 0.6105 = 5.8612，C正确。样本具有随机性，样本相关系数会随着样本成对数据的变化而变化，故D错误。故选C。