《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

19.（12分）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）。
　(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望；
　(2)试验结果如下：
　对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
　　15.2　18.8　20.2　21.3　22.5　23.2　25.8
　　26.5　27.5　30.1　32.6　34.3　34.8　35.6
　　35.6　35.8　36.2　37.3　40.5　43.2
　试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
　　7.8　　9.2　11.4　12.4　13.2　15.5　16.5
　　18.0　18.8　19.2　19.8　20.2　21.6　22.8
　　23.6　23.9　25.1　28.2　32.3　36.5
　(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
　　　　
　　(ii)根据(i)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
　

答案： [命题点]超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望、独立性检验
[解]
(1)X的可能取值为0,1,2,则
　P(X=0)=$\frac{C2C38}{C20}$=$\frac{19}{78}$,P(X=1)=$\frac{CC38}{C20}$=$\frac{20}{39}$,
　P(X=2)=$\frac{C²C38}{C20}$=$\frac{19}{78}$,　　　　　　　　　　　　　　　　2分所以X的分布列为
　　　　　　　X　　　　0　　　　1　　　　2
　　　　　　　P　　　$\frac{19}{78}$　　　$\frac{20}{39}$　　　$\frac{19}{78}$
　E(X)=0x$\frac{19}{78}$+1×$\frac{20}{39}$+2×$\frac{19}{78}$=1.　　　　　　　　　　　　6分另解;由M=2,N=40,n=20,得E(X)=$\frac{nM}{N}$=$\frac{20×2}{40}$=1
(2)(i)40只小白鼠体重的增加量从小到大排序为
　7.8　　9.2　　11.4　12.4　13.2　15.2　　15.5　　16.5 18.0　18.8　　18.8　　19.2　　19.8　20.2　20.2　21.3 21.6　22.5　22.8　23.2　23.6　23.9　25.1　25.8 26.5　27.5　28.2　30.1　　32.3　32.6　34.3　34.8 35.6　35.6　35.8　36.2　36.5　37.3　40.5　43.2 所以40只小白鼠体重的增加量的中位数m=$\frac{23.2+23.6}{2}$=
　23.4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分所以列联表如下:
　　　　　　　　　　　＜m　　　≥m　　合计
　　　　　　对照组　　　6　　　14　　　20
　　　　　　试验组　　　14　　　6　　　20
　　　　　　　合计　　　20　　　20　　　40　　　....10分(ii)因为K²²=$\frac{40×(6×6−14×14)}{20×20×20×20}$=6.4＞3.841,
　所以有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.　　　　　　　　　　　　　12分

20.（12分）已知直线$x - 2y + 1 = 0$与抛物线$C:y^{2} = 2px(p＞0)$交于A，B两点，$|AB| = 4\sqrt{15}$
　　(1)求p；
　　(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN} = 0$，求△MFN面积的最小值。

答案： [命题点]直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值问题
[解]
(1)联立{xy²−=2y2+px1,=0,
　消去y并整理得x²+(2−8ρ)x+1=0,由(2−8p)²−4＞0得p＞$\frac{1}{2}$,2分设A(x,y),B(x2,y2),则x+x2=8p−2,xx2=1,
　所以IAB|=　$\sqrt{\frac{1}{4}}$1+　　$\sqrt{(x+x)²−4xx2}$=　/$\sqrt{\frac{1}{4}}$1+　　$\sqrt{(8p−2)²−4}$=
　4$\sqrt{15}$,
　解得p=2(负值舍去).　　　　　　　　　　　　　　　　4分
(2)由题知，直线MN的斜率不为0,设直线MN的方程为x=
　my+b,由
(1)知,抛物线C的方程为y²=4x,
　联立{xγ²==m4yx+,b²消去x并整理得γ²−4my−4b=0,
A=16m²+16b＞0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y=4m,y3y4=−4b,
　所以x3+x4=4m²+2b,xx4=m²y3y+mb(y3+y)+b²=b².　　　　7分
因为抛物线y²=4x的焦点为F(1,0),
　所以FM=(x3−1,y3),FN=(x4−1,y4),
　所以FM.FN=(x3−1).(x4−1)+y3ya=x3x4−(x3+x4)+y3y+
　　1=0,
　所以b²−4m²−2b−4b+1=0,
　所以m²=$\frac{b²−6b+1}{4}$≥0,此时△=4(b−1)².若△＞0,则b≠1,
　所以b²−6b+1≥0,解得b≤3−2√2或b≥3+2√2,　　　　　10分
　设点F到直线MN的距离为d,则d=$\frac{11−61}{\sqrt{1+m²}}$,
　又IMNI=　$\sqrt{1+m²}$(y3+y)²−4y3y
　　=　$\sqrt{1+m²}$$\sqrt{16m²+16b}$
　　=2$\sqrt{1+m²}$.1b−11,
　所以S△MFN=$\frac{1}{2}$IMNId=1b−11²,
　　(另解:因为IMFI=x3+1,1NF|=x4+1,MF⊥NF,所以S△M;N=
　$\frac{1}{2}$|MF|.INF|=$\frac{1}{2}$(x3+1)(x4+1)=$\frac{1}{2}$(x3x4+x3+x4+1)=
　$\frac{1}{2}$(4m²+2b+b²+1)=(bb−1)²)
　所以当b=3−2√2时,△MFN的面积取得最小值(3−2√2−1)²=
　12−8$\sqrt{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分