《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

10. 已知$i$是虚数单位，化简$\frac{11 - 3i}{1 + 2i}$的结果为________。

答案： 1 - 5i　[命题点]复数的四则运算
[深度解析]$\frac{11 - 3i}{1 + 2i}=\frac{(11 - 3i)(1 - 2i)}{(1 + 2i)(1 - 2i)}=\frac{5 - 25i}{5}=1 - 5i$。

11. 在$(\sqrt{x}-\frac{1}{x})^{12}$的展开式中，常数项是________。

答案： 15　[命题点]二项式定理
[深度解析]由题意可得，展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}(\sqrt{x})^{5 - k}(\frac{3}{x^{2}})^{k}=C_{5}^{k}\cdot3^{k}\cdot x^{\frac{5 - 5k}{2}}(k = 0,1,\cdots,5)$，令$\frac{5 - 5k}{2}=0$，可得$k = 1$，所以展开式中的常数项是$T_{2}=C_{5}^{1}\times3 = 15$。

12. 若直线$x - y + m = 0(m＞0)$被圆$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 3$截得的弦长等于$m$，则$m$的值为________。

答案： 2　[命题点]直线被圆所截得的弦长问题
[深度解析]由题知圆心$(1,1)$到直线的距离为$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，所以$2\sqrt{2 - (\frac{|m|}{\sqrt{2}})^2}=\sqrt{3}$，又$m\gt0$，解得$m = 2$。

13. 现有$52$张扑克牌（去掉大小王），每次取一张，取后不放回，则两次都抽到$A$的概率为________；在第一次抽到$A$的条件下，第二次也抽到$A$的概率是________。

答案： $\frac{1}{221}$，$\frac{1}{17}$　[命题点]相互独立事件的概率及条件概率的计算
[深度解析]设第一次抽到$A$的事件为$M$，第二次抽到$A$的事件为$N$，则抽两次都是$A$的概率为$P(MN)=\frac{4\times3}{52\times51}=\frac{1}{13\times17}=\frac{1}{221}$。在第一次抽到$A$的条件下，第二次也抽到$A$的概率是$P(N|M)=\frac{P(MN)}{P(M)}=\frac{\frac{1}{221}}{\frac{4}{52}}=\frac{1}{17}$。

14. 在$\triangle ABC$中，点$D$为$AC$的中点，点$E$满足$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$。记$\overrightarrow{CA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{CB}=\vec{b}$，用$\vec{a}$，$\vec{b}$表示$\overrightarrow{DE}=$________；若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}$，则$\angle ACB$的最大值为________。

答案：
$-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}b$，$\frac{\pi}{6}$　[命题点]平面向量的线性运算、向量数量积的应用
[深度解析]如图，由题意可得$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}b$。

若$\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}$，则$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DE}=0$，所以$(b - a)\cdot(-\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}b)=0$，所以$\frac{3}{2}b^{2}-2a\cdot b+\frac{1}{2}a^{2}=0$，即$a\cdot b=\frac{1}{4}|a|^{2}+\frac{3}{4}|b|^{2}$。
所以$\cos\angle ACB=\frac{a\cdot b}{|a|\cdot|b|}=\frac{\frac{1}{4}|a|^{2}+\frac{3}{4}|b|^{2}}{|a|\cdot|b|}\geq\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}|a|\cdot|b|}{|a|\cdot|b|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$（当且仅当$|a|=\sqrt{3}|b|$时等号成立），又$\angle ACB\in(0,\pi)$，所以$\angle ACB\leq\frac{\pi}{6}$，即$\angle ACB$的最大值为$\frac{\pi}{6}$。

15. 设$a\in R$。对任意实数$x$，用$f(x)$表示$\vert x\vert - 2$，$x^2 - ax + 3a - 5$中的较小者。若函数$f(x)$至少有$3$个零点，则$a$的取值范围为________。

答案：
$[10,+\infty)$
[命题点]函数的零点问题
[深度解析]函数$y = |x| - 2$的图像与$x$轴有$2$个交点$(-2,0)$和$(2,0)$，所以函数$g(x)=x^{2}-ax + 3a - 5$的图像与$x$轴至少有一个交点，从而$\Delta = a^{2}-12a + 20\geq0$，解得$a\leq2$或$a\geq10$。函数$g(x)$的图像的对称轴为直线$x = \frac{a}{2}$。设方程$g(x)=0$的两根分别为$x_1$，$x_2(x_1\leq x_2)$，当$a\lt\frac{1}{5}$时，$g(-2)=5a - 1\lt0$，$g(2)=a - 1\lt0$，所以$-2$和$2$不是函数$f(x)$的零点，函数$f(x)$只有$2$个零点（如图①），不符合题意；当$\frac{1}{5}\leq a\lt1$时，$g(-2)=5a - 1\geq0$，$g(2)=a - 1\lt0$，则$2$不是函数$f(x)$的零点，函数$f(x)$只有$2$个零点（如图②），不符合题意；当$1\leq a\leq2$时，$g(-2)\gt0$，$g(2)\geq0$，则$-2\lt x_1\leq x_2\leq2$，函数$f(x)$只有$2$个零点（如图③），不符合题意；当$a\geq10$时，函数$g(x)$图像的对称轴方程满足$x = \frac{a}{2}\geq5$，且$g(2)\gt0$，所以$2\lt x_1\leq x_2$，函数$f(x)$至少有$3$个零点，符合题意（如图④）。
综上所述，实数$a$的取值范围是$[10,+\infty)$。

16. （本小题满分$14$分）在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$。已知$a = \sqrt{6}$，$b = 2c$，$\cos A = -\frac{1}{4}$。
(1) 求$c$的值；
(2) 求$\sin B$的值；
(3) 求$\sin(2A - B)$的值。

答案： [命题点]正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式及三角恒等变换
[解]
(1)由余弦定理得$\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=-\frac{1}{4}$，将$b = 2c$，$a = \sqrt{6}$代入上式得$c^{2}=1$，所以$c = 1$。4分
(2)由$\cos A=-\frac{1}{4}$，$A\in(0,\pi)$，得$\sin A=\sqrt{1 - \cos^{2}A}=\frac{\sqrt{15}}{4}$。由正弦定理，得$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{2c\times\frac{\sqrt{15}}{4}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$。8分
(3)由$\cos A\lt0$，得$A\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，所以$B\in(0,\frac{\pi}{2})$，从而$\cos B=\sqrt{1 - \sin^{2}B}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，所以$\sin 2A = 2\sin A\cos A=-\frac{\sqrt{15}}{8}$，$\cos 2A = 2\cos^{2}A - 1=\frac{7}{8}$。12分
所以$\sin(2A - B)=\sin 2A\cos B - \cos 2A\sin B=-\frac{\sqrt{15}}{8}\times\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{7}{8}\times\frac{\sqrt{10}}{4}=\frac{\sqrt{10}}{8}$。14分
易错警示：利用平方关系求值时，注意根据角所在象限确定符号。