《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

19. (本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC−A₁B₁C₁的体积为4,△A₁BC的面积为2$\sqrt{2}$
　　(1)求A到平面A₁BC的距离;
　　(2)设D为A₁C的中点,AA₁ = AB,平面A₁BC⊥平面ABBA₁,求二面角A−BD−C的正弦值.
　　　　　　　　　　　　　　

答案：
19.[命题点]三棱柱的体积、点到平面的距离、二面角正弦值的求解
[解]
(1)由题知$V_{A_1 - ABC}=\frac{1}{3}V_{ABC - A_1B_1C_1}=\frac{4}{3}$ 1分
设$A_1$到平面$ABC$的距离为$h$，
则$V_{A_1 - ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}\cdot h=\frac{2\sqrt{2}}{3}h=\frac{4}{3}$ 3分
解得$h = \sqrt{2}$，
即$A_1$到平面$ABC$的距离为$\sqrt{2}$； 4分
(2)因为$AA_1 = AB$，$AA_1\perp AB$，
所以四边形$ABB_1A_1$是正方形。
连接$A_1B$，交$AB_1$于点$E$，则$AB_1\perp A_1B$。
因为平面$ABC\perp$平面$ABB_1A_1$，
平面$ABC\cap$平面$ABB_1A_1 = AB$，
所以$A_1B\perp$平面$ABC$。
由
(1)知，$A_1$到平面$ABC$的距离为$\sqrt{2}$，
即$A_1E = \sqrt{2}$，所以$AB_1 = 2\sqrt{2}$，所以$AB = AA_1 = 2$。
由$A_1B\perp$平面$ABC$，得$A_1B\perp BC$，
又$BB_1\perp BC$，且$BB_1\cap A_1B = B_1$，
所以$BC\perp$平面$ABB_1A_1$，
所以$BC\perp AB_1$。
因为三棱柱$ABC - A_1B_1C_1$的体积为$4$，所以$BC = 2$ 6分
以$B$为坐标原点，分别以$BC$，$BA$，$BB_1$所在直线为$x$，$y$，$z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系$B - xyz$，
则$B(0,0,0)$，$A(0,2,0)$，$C(2,0,0)$，$A_1(0,2,2)$，$D(1,1,1)$，
所以$\overrightarrow{BD}=(1,1,1)$，$\overrightarrow{BA}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{BC}=(2,0,0)$。
设平面$ABD$的法向量为$\overrightarrow{m}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{m}=x + y + z = 0\\\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{m}=2y = 0\end{cases}$
令$x = 1$，得$\overrightarrow{m}=(1,0, - 1)$。 8分
设平面$CBD$的法向量为$\overrightarrow{n}=(a,b,c)$，
则$\begin{cases}\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{n}=a + b + c = 0\\\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{n}=2a = 0\end{cases}$
令$b = 1$，得$\overrightarrow{n}=(0,1, - 1)$。 10分
所以$|\cos\langle\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{1}{2}$，
所以二面角$A - BD - C$的正弦值为$\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 12分(求的是正弦值而非余弦值)
一题多解
(2)由上可知$AB$，$BB_1$，$BC$两两垂直且$AB = BB_1 = BC = 2$，过$A$作$AE\perp BD$于$E$，连接$CE$。
易得$AC = 2\sqrt{2}$，所以$A_1C = 2\sqrt{3}$。 6分
因为$D$为$A_1C$的中点，$\triangle AA_1C$为直角三角形，
所以$AD = DC = \sqrt{3}$。又$AB = BC = 2$，
所以$\triangle ABD\cong\triangle CBD$。
所以$CE\perp BD$。又$AE\subset$平面$ABD$，$CE\subset$平面$CBD$，
所以$\angle AEC$为二面角$A - BD - C$的平面角 8分
在$Rt\triangle ABC$中，有$BD = \frac{1}{2}A_1C = \sqrt{3}$
易得$AE = EC = \frac{2\sqrt{6}}{3}$。 10分
在$\triangle AEC$中，由余弦定理得$\cos\angle AEC=\frac{AE^2 + EC^2 - A_1C^2}{2AE\cdot EC}=-\frac{1}{2}$，所以$\sin\angle AEC=\frac{\sqrt{3}}{2}$
即二面角$A - BD - C$的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 12分

20.(本小题满分12分)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
　　　
　　(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
　　(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,$\frac{P(B|A)}{P(B|\overline{A})}$与$\frac{P(\overline{B}|A)}{P(\overline{B}|\overline{A})}$的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
　　(i)证明:R=$\frac{P(A|B)}{P(A|\overline{B})}\cdot\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(\overline{A}|B)}$;
　　(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|\overline{B})的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
　

答案： 20.[命题点]独立性检验、条件概率的计算
(1)[解]
| | 不够良好 | 良好 | 合计 |
| --- | --- | --- | --- |
| 病例组 | 40 | 60 | 100 |
| 对照组 | 10 | 90 | 100 |
| 合计 | 50 | 150 | 200 |
$K^{2}=\frac{200\times(40\times90 - 60\times10)^{2}}{100\times100\times50\times150}=24＞6.635$，3分
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异。4分
(2)(i)[证明]
$R = \frac{P(B|A)}{P(\overline{B}|A)}\cdot\frac{P(\overline{B}|\overline{A})}{P(B|\overline{A})}=\frac{\frac{P(AB)}{P(A)}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(A)}}\cdot\frac{\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A})}}{\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}}=\frac{P(AB)}{P(A\overline{B})}\cdot\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{A}B)}=\frac{\frac{P(AB)}{P(B)}}{\frac{P(A\overline{B})}{P(B)}}\cdot\frac{\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}}{\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{B})}}=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$
所以$R = \frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}$。8分(条件概率公式的应用)
(ii)[解]
由调查数据可得$P(A|B)=\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$，$P(\overline{A}|B)=\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$，9分
则$P(\overline{A}|B)=1 - P(A|B)=\frac{3}{5}$，$P(A|\overline{B})=1 - P(\overline{A}|\overline{B})=\frac{9}{10}$，10分
所以$R=\frac{P(A|B)}{P(\overline{A}|B)}\cdot\frac{P(\overline{A}|\overline{B})}{P(A|\overline{B})}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}}\times\frac{\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}} = 6$。12分