《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

20.(16分)设椭圆$\Gamma$:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$,$F_1(−\sqrt{2},0)$,$F_2(\sqrt{2},0)$为$\Gamma$的焦点,$A$为$\Gamma$的下顶点,$M$为直线$l:x + y−\sqrt{2}=0$上一点.
　(1)若$a = 2$,且$AM$的中点在$x$轴上,求点$M$的坐标;
　(2)若直线$l$与$y$轴交于点$B$,直线$AM$经过点$F_2$,且在$\triangle ABM$中有一内角的余弦值为$\frac{3}{5}$,求$b$的值;
　(3)若$\Gamma$上一点$P$到$l$的距离为$d$,且$|PF_1|+|PF_2|+d = 6$,求$d$的最小值.

答案：
20.思路导引
(3)利用参数方程，设P(acosθ,bsinθ)，点P到l距离d = $\frac{|acosθ + bsinθ - 4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$→d = 6 - 2a，辅助化角公式sin(θ + φ) = $\frac{2a - 2}{\sqrt{a² - 1}}$ ≤ 1，整理得$\sqrt{2}$ ＜ a ≤ $\frac{5}{3}$，由d的取值范围求d的最小值。
[命题点]椭圆的综合问题
[解]
(1)由题意可得a = 2，b = c = $\sqrt{2}$，则椭圆T的方程为$\frac{x²}{4}$ + $\frac{y²}{2}$ = 1，A(0, $\sqrt{2}$)。1分
∵线段AM的中点在x轴上，
∴点M的纵坐标为 - $\sqrt{2}$。2分
代入x + y - 4$\sqrt{2}$ = 0得M(5$\sqrt{2}$, - $\sqrt{2}$)。3分
(2)由直线l的方程可知B(0, 4$\sqrt{2}$)。
①若cos∠BAM = $\frac{3}{5}$，即cos∠OAF₂ = $\frac{3}{5}$，则tan∠OAF₂ = $\frac{4}{3}$，即$\frac{|OF₂|}{|OA|}$ = $\frac{4}{3}$，
∴|OA| = $\frac{3}{4}$|OF₂| = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴b = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$。5分

②若cos∠BMA = $\frac{3}{5}$，则sin∠BMA = $\frac{4}{5}$。
∵∠MBA = $\frac{\pi}{4}$，
∴cos(∠MBA + ∠BMA) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{3}{5}$ - $\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{4}{5}$ = - $\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴cos∠BAM = $\frac{\sqrt{2}}{10}$，即cos∠OAF₂ = $\frac{\sqrt{2}}{10}$。7分
∴tan∠OAF₂ = 7，即$\frac{|OF₂|}{|OA|}$ = 7，
∴|OA| = $\frac{|OF₂|}{7}$ = $\frac{\sqrt{2}}{7}$，
∴b = $\frac{\sqrt{2}}{7}$。
综上，b = $\frac{3\sqrt{2}}{4}$或$\frac{\sqrt{2}}{7}$。9分
(3)设P(acosθ,bsinθ)，
由点到直线的距离公式、椭圆的定义及题意得
d = $\frac{|acosθ + bsinθ - 4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$ = 6 - 2a。10分
很明显椭圆Γ在直线l的左下方，则 - $\frac{acosθ + bsinθ - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 6 - 2a，
即4$\sqrt{2}$ - $\sqrt{a² + b²}$sin(θ + φ) = 6$\sqrt{2}$ - 2$\sqrt{2}$a（其中tanφ = $\frac{a}{b}$）。12分
∵a² = b² + 2，
∴$\sqrt{2a² - 2}$sin(θ + φ) = 2$\sqrt{2}$a - 2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{a² - 1}$sin(θ + φ) = 2a - 2。
∵a ＞ $\sqrt{2}$，
∴sin(θ + φ) = $\frac{2a - 2}{\sqrt{a² - 1}}$ ≤ 1。14分
整理得(a - 1)(3a - 5) ≤ 0，解得1 ≤ a ≤ $\frac{5}{3}$。
又a ＞ $\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$ ＜ a ≤ $\frac{5}{3}$。
∴d = 6 - 2a ≥ 6 - 2×$\frac{5}{3}$ = $\frac{8}{3}$，
即d的最小值为$\frac{8}{3}$。16分