《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

21.(18分)已知函数$f(x)=\ln x$，取$a_1＞0$，过点$(a_1,f(a_1))$作曲线$y = f(x)$的切线交$y$轴于$(0,a_2)$；$a_2＞0$，过点$(a_2,f(a_2))$作曲线$y = f(x)$的切线交$y$轴于$(0,a_3)$，以此类推。若$a_n\leq0$，$n\in N$，则停止操作，得到数列$\{a_n\}$。
　(1)若正整数$m\geq2$，证明：$a_m=\ln a_{m - 1}-1$。
　
(2)若正整数$m\geq2$，试比较$a_m$与$a_{m - 1}-2$的大小关系。
　(3)若正整数$k\geq3$，是否存在$k$使得$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_k$依次成等差数列？若存在，求出$k$的所有取值；若不存在，试说明理由。

答案： 21. 思路导引
(1) f'(x)→曲线 y = f(x) 在点 (aₘ₋₁, f(aₘ₋₁)) 处的切线斜率→切线方程令 x = 0，aₘ = lnaₘ₋₁ - 1；
(2) 证明 lnx ≤ x - 1(x＞0)→aₘ = lnaₘ₋₁ ≤ aₘ₋₁ - 1 - 1 = aₘ₋₁ - 2；
(3) 由
(2)→{aₙ}单调递减→d = aₙ - aₙ₋₁ = lnaₙ₋₁ - aₙ₋₁ - 1，2 ≤ n ≤ k→令 g(x) = lnx - x - 1 求导分析 g(x) 的单调性→至多存在两个 aₙ₋₁，使 g(aₙ₋₁) = d→k ≥ 4 不符合题意→k = 3→令 h(x) = l n(lnx - 1) - 2lnx + x + 1，$\frac{h(e)＜0}{h(e²)＞0}$，∃x₀∈(e, e²)，h(x₀) = 0→取 a₁ = x₀，a₁，a₂，a₃ 成等差数列→k = 3。
[命题点]数列与函数的综合运用
(1) [证明]因为 f(x) = lnx，所以 f'(x) = $\frac{1}{x}$，
则曲线 y = f(x) 在点 (aₘ₋₁, f(aₘ₋₁)) 处的切线的斜率为 $\frac{1}{aₘ₋₁}$，2 分
切线方程为 y - lnaₘ₋₁ = $\frac{1}{aₘ₋₁}$(x - aₘ₋₁)，即 y = $\frac{1}{aₘ₋₁}$x - 1 + lnaₘ₋₁。
令 x = 0，得 y = lnaₘ₋₁ - 1，4 分
根据题意可知，aₘ = lnaₘ₋₁ - 1(m ≥ 2 且 m 为正整数)，即得证。5 分
(2) [解]由
(1)知 aₘ = lnaₘ₋₁ - 1，故要比较 aₘ 与 aₘ₋₁ - 2 的大小关系，即比较 lnaₘ₋₁ - 1 与 aₘ₋₁ - 2 的大小关系，也就是 lnaₘ₋₁ 与 aₘ₋₁ - 1 的大小关系。
设 F(x) = lnx - x + 1(x＞0)，则 F'(x) = $\frac{1}{x}$ - 1 = $\frac{1 - x}{x}$，
易知当 0＜x＜1 时，F'(x)＞0，F(x) 单调递增，当 x＞1 时，F'(x)＜0，F(x) 单调递减，
则 F(x) ≤ F
(1) = 0，即 lnx ≤ x - 1(x＞0)。7 分
结合
(1)可知，aₘ = lnaₘ₋₁ - 1 ≤ aₘ₋₁ - 1 - 1 = aₘ₋₁ - 2，即 aₘ ≤ aₘ₋₁ - 2。9 分
(3) [解]解法一:假设存在符合要求的 k，
由
(2)可知，数列 {aₙ} 为严格的递减数列，n = 1, 2, 3, …, k，
由
(1)可知，公差 d = aₙ - aₙ₋₁ = lnaₙ₋₁ - aₙ₋₁ - 1，2 ≤ n ≤ k。11 分
令 g(x) = lnx - x - 1，则 g'(x) = $\frac{1}{x}$ - 1 = $\frac{1 - x}{x}$，
易知当 0＜x＜1 时，g'(x)＞0，g(x) 单调递增，当 x＞1 时，g'(x)＜0，g(x) 单调递减，
则 g(x) = d 至多只有两个解，即至多存在两个 aₙ₋₁，使得 g(aₙ₋₁) = d。
若 k ≥ 4，则 g(a₁) = g(a₂) = g(a₃) = d，矛盾，则 k = 3。14 分
当 k = 3 时，若 a₁，a₂，a₃ 依次成等差数列，则 2a₂ = a₁ + a₃。
因为 a₂ = lna₁ - 1，a₃ = lna₂ - 1 = ln(lna₁ - 1) - 1，
所以 2(lna₁ - 1) = a₁ + ln(lna₁ - 1) - 1，
即 ln(lna₁ - 1) - 2lna₁ + a₁ + 1 = 0。
(下面利用函数判断方程 ln(lnx - 1) - 2lnx + x + 1 = 0 是否有根，若有根，则 a₁，a₂，a₃ 依次成等差数列成立)
设函数 h(x) = ln(lnx - 1) - 2lnx + x + 1，
因为 h(e) = ln0.1 - 2 + e + 1 = e - ln10 - 1＜0，h(e²) = - 3 + e²＞0，
所以存在 x₀∈(e, e²)，使得 h(x₀) = 0，
于是 a₁ = x₀，a₂ = lna₁ - 1，a₃ = lna₂ - 1，它们依次构成等差数列。17 分
综上，k = 3。18 分
解法二:假设存在正整数 k＞3，使得 a₁，a₂，…，aₖ 依次成等差数列，公差为 d，则 aₖ - aₖ₋₁ = lnaₖ₋₁ - aₖ₋₁ - 1 = lnaₖ₋₁ - lnaₖ₋₂ = d，所以 $\frac{aₖ₋₁}{aₖ₋₂}$ = eᵈ，所以数列 {aₙ} 既为等差数列又为等比数列，故此时 d = 0，与 aₖ - aₖ₋₁ ≤ - 2 矛盾，所以不存在正整数 k＞3，使得 a₁，a₂，…，aₖ 依次成等差数列。14 分
当 k = 3 时，a₂ = lna₁ - 1，所以 a₁ = e²⁺ᵈ，a₃ = lna₂ - 1，若满足 a₁ + a₃ = 2a₂，则 e²⁺ᵈ + lna₂ - 1 - 2a₂ = 0。
令 m(x) = eˣ⁺ᵈ + lnx - 1 - 2x(x＞0)，则 m
(1) = e² - 3＞0，m(e⁻¹⁰) = eᵉ⁻¹⁰⁺ᵈ - 10 - 1 - 2e⁻¹⁰＜e² - 10 - 1＜0，所以存在 x₀∈(e⁻¹⁰, 1)，使得 m(x₀) = 0，即 a₁ + a₃ = 2a₂，所以存在 k = 3，使得 a₁，a₂，…，a₃ 依次成等差数列。17 分
综上，k = 3。18 分