《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

1.已知复数z = 1 + i(其中i为虚数单位),则$\frac{2}{z}$ = ________.

答案： 2 - 2i [命题点]复数的共轭复数
[深度解析]依题意,z = 1 + i,则$\overline{z}$ = 1 - i,所以2$\overline{z}$ = 2 - 2i

2.双曲线$\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1$的实轴长为________.

答案： 6 [命题点]双曲线的几何性质
[深度解析]由双曲线$\frac{x^{2}}{9}-y^{2}=1$可知$a = 3$,所以双曲线的实轴长2a = 6.

3.函数y = cos²x - sin²x + 1的最小正周期为________.

答案： π [命题点]三角恒等变换和三角函数的最小正周期
[深度解析]f(x) = cos²x - sin²x + 1 = cos²x - sin²x + cos²x + sin²x = 2cos²x = cos2x + 1,所以最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$.
一题多解：由余弦的二倍角公式cos2x = cos²x - sin²x得f(x) = cos2x + 1,所以最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$.

4.设a为常数,若行列式$\begin{vmatrix}a&3\\2&1\end{vmatrix}$的值与行列式$\begin{vmatrix}4&a\\0&1\end{vmatrix}$的值相等,则a = ________.

答案： 3 [命题点]行列式的计算
[深度解析]因为$\begin{vmatrix}a&2\\3&1\end{vmatrix}=a - 6$,$\begin{vmatrix}4&2\\a&1\end{vmatrix}=4 - 2a$,所以a - 6 = 4 - 2a,解得a = 3.

5.若圆柱的高为4,底面积为9π,则该圆柱的侧面积为________.

答案： 24π [命题点]圆柱的侧面积公式
[深度解析]设圆柱的底面半径为R,高为h.因为圆柱的底面积为9π,即πR² = 9π,解得R = 3,又因为侧面积S = 2πRh = 2π×3×4 = 24π.

6. 若实数$x$，$y$满足$\begin{cases}x - y \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{cases}$，则$z = x + 2y$的最小值为________。

答案：
$\frac{3}{2}$　[命题点]线性规划求最值
　所[深示度.解析]由约束条件x|y=≥0,画出可行域,如图阴影部分
9　　10　　11　　　　12　　　　13　　14　　15　　16
$\frac{3}{7}$　　98　　5　$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$'+)　　B　　A　　D　　B
　　　　　　　　
　xx−+yy−=10=,0,得xy==$\frac{1}{2}$$\frac{1}{2}$,,即A($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$).
　　　　　　　{
　由z=x+2y,得y=−x+$\frac{2}{2}$.作出直线x+2y=0,并平移，由图可知,当目标函数线z=x+2y经过点A($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)时,z=x++2y取最小值,为+2x$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$.

7. 在$(3 + x)^n$的二项展开式中，若$x^2$的系数是常数项的$5$倍，则$n =$________。

答案： 10　[命题点]二项式展开式的通项公式
[深度解析]
∵二项式(3+x)的展开式的通项为T=C×3"x,x²的系数是常数项的5倍，,
∴C²×3−²=5C{×3²,即$\frac{n(n−1)}{2}$=5x9,解得n=10.

8. 设$a$为常数，若函数$y = \begin{cases}x^a + x^{a - 1}, & x ＞ 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x^a - x^{a - 1}, & x ＜ 0 \end{cases}$为奇函数，则$a =$________。

答案： 1　[命题点]利用函数性质求参数
[深度解析]设f(x)={xa²+xa−,x1＞,x0＜.0,因为函数y={ax+²xa−,x1＞,x0＜0,为奇函数,所以∮(x)+∮(−x)=0.因为当x＞0时,f(x)=x+a,此时−x＜0,f(−x)=−α²x−1,所以x+a+(−α²x−1)=0,解得α=1.
一题多解特殊值法:
　　函数y={xa²+xa−,1x＞,x0＜0为奇函数,设为f(x),则∮(−x)=−∮(x),
　　所以∮(−1)=−f
(1),即−a²−1=−(a+1),即a(a−1)=0,解得a=0或a=1.
　　当a=0时,y={x−,1x,＞x0＜,0,不是奇函数，故a≠0;
　　当a=1时,y={xx−+11,,xx＞＜00,,是奇函数，故满足条件.综上a=1.

9. 为了检测学生的身体素质指标，需从游泳类$1$项，球类$3$项，田径类$4$项，共$8$项项目中随机抽取$4$项进行检测，每一类都被抽到的概率为________。（结果用最简分数表示）

答案： $\frac{3}{7}$　[命题点]古典概型
[深度解析]从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方法共有C.C.C+
C.C;.C(种),而所有的抽取方法共有C种,故每一类都被抽到的概率为$\frac{C.C.C²+C.C².C}{C}$=$\frac{3}{7}$.

10. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差不为零，$S_n$为其前$n$项和。若$S_5 = 0$，则$S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_{100}$这$100$个数中所有不同数值的个数为________。

答案： 98　[命题点]等差数列的前n项和
[深度解析]
∵等差数列|a|的公差d≠0,Sm为其前n项和，S5=0,
∴S5=5a+$\frac{5×4}{2}$d=0,解得a=−2d,
∴Sn=na+n2(n−1d)=−2nd+n(n2−1)d=$\frac{d}{2}$(n²−5n).
∵d≠0,根据二次函数图像的对称性可知,S(i=1,2,...,100)
　中S2=S3=−3d,S=S4=−2d,其余各项均不相等,,
∴S:(i=1,2,...,100)中不同的数值个数为100−2=98.

11. 已知平面非零向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，$\vec{c}$的模均为$\lambda$，若$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，$\vec{a} \cdot \vec{c} = 2$，$\vec{b} \cdot \vec{c} = 1$，则$\lambda =$________。

答案：
5　[命题点]由平面向量的数量积求参数
[深度解析]由题意,a.b=0,则a⊥b.又a.c=2,b.c=1,设lallclcosθ=2,
　(a,c＞=0,则＜b,c＞=−0,所以{bb|lclcos($\frac{T}{2}$−9)=1.两式相除，得tanθ=$\frac{1}{2}$,由同角三角函数的基本关系，得cosθ=$\frac{2√5}{5}$,则a.c=lallclcosθ=λ.λ.$\frac{2、√5}{5}$=2,所以x²=$\sqrt{5}$,则λ=√5.
　　一题多解
　　由a.b=0,得a⊥b,建立平面直角坐
　　标系，如图所示.
　　令a=OA=(A,0),b=OB=(0,A),
　　　　　　　　　　　　　　　　 设c=(x,y),则1c1²=x²+y²=A².
　　因为a.c=λx=2,即x=$\frac{2}{A}$,
　　　　　　　　　　　　　　2　　　2
　　b.c=λy=1,即y=$\frac{1}{A}$,所以($\frac{2}{A}$+($\frac{1}{A}$=λ²,解得λ=5..

12. 设函数$f(x)$，定义域为$[0, +\infty)$，值域为$A$，且对定义域中任意实数$x$，$f(x) = \frac{1}{x + 1}$均成立。若$\{y|y = f(x), x \in [0, a]\} = A$，则实数$a$的取值范围是________。

答案： $\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,+∞)　[命题点]由函数的性质求参数取值范围
[深度解析]令x=$\frac{1}{x+1}$,解得x=$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$(负值舍去)，
　当x∈0,$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$]时，,x2=$\frac{1}{x+1}$E[$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,小
　当x∈$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,+∞)时,x2=$\frac{1}{x+1}$=(0,$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,
　且当x1∈($\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,+∞)时,总存在x=$\frac{1}{x，+1}$=(0,$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,使得f(x)=∮(x2),故{{y|y=f(x),0≤x≤$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$}=A
若a＜$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,则$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$)(yly=f(x),0≤x≤a|,所以a≥$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,即实数α的取值范围为[$\frac{\sqrt{5}−1}{2}$,+∞).

13. 若集合$A = [-1, 2)$，$B = \mathbb{Z}$，则$A \cap B =$（ ）
A. $\{-2, -1, 0, 1\}$
B. $\{-1, 0, 1\}$
C. $\{-1, 0\}$
D. $\{-1\}$

答案： B　[命题点]集合的交集运算
[深度解析]
∵A=[−1,2),B=Z,
∴A∩B=|−1,0,1{.故选B.

14. 若实数$a$，$b$满足$a ＞ b ＞ 0$，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. $a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
B. $a + b ＜ 2\sqrt{ab}$
C. $\frac{a}{2} + 2b ＞ 2\sqrt{ab}$
D. $\frac{a}{2} + 2b ＜ 2\sqrt{ab}$

答案： A　[命题点]基本不等式
[深度解析]因为a＞0,b＞0,所以a+b≥2$\sqrt{ab}$,当且仅当a=b时取等号，又a＞b,所以a+b＞2$\sqrt{ab}$,故A正确，B错误;
　$\frac{a}{2}$+2b≥2　$\sqrt{\frac{a}{2}}$.2b=2$\sqrt{ab}$,当且仅当$\frac{a}{2}$=2b,即a=4b时取等号，故C,D错误.故选A.

15. 如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$P$，$Q$，$R$，$S$分别为棱$AB$，$BC$，$BB_1$，$CD$的中点，连接$AS$，$B_1D_1$。对于空间任意两点$M$，$N$，若线段$MN$上不存在也在线段$A_1S$，$B_1D_1$上的点，则称$M$，$N$两点“可视”，下列选项中与点$D_1$“可视”的点为（ ）

A. 点$P$
B. 点$B$
C. 点$R$
D. 点$Q$

答案：
D　[命题点]空间中直线的位置关系
[深度解析]M,N两点“可视”，即线段MN上不存在点在线段
AS,BD上,即直线MN与线段AS,BD不相交，因此求与D “可视”的点，即求以D，为端点的哪条线段不与线段AS,BD 相交
　对A选项,如图,连接AP,PS,DS,DP.
∵P,S分别为AB,CD 的中点，
∴AD、///AD//PS,
∴A,D,P,S四点共面，
∴线段DP 与线段AS相交，故A错误.
　　　　　　　　
　对B,C选项,如图,连接DB,DB,DB,DR,易证D,B,B,D 四点共面，
∴线段DB,DR都与线段BD相交,故B，C错误.
　　　　　　　　
　对D选项,如图，连接DQ.由A选项分析知A,D,P,S四点共面，记为平面ADSP.
∵D∈平面AD!SP,Q平面ADSP,
ASC平面ADSP,点DAS,
∴DQ与AS为异面直线.
　同理，由B,C选项的分析知D,B,B,D四点共面，记为平面
DBBD.
∵D∈平面DBBD,Q平面DBBD,BDC平面
DBBD,点DBD,
∴DQ与BD为异面直线.
∴线段DQ与线段AS,BD都没有公共点，故D选项正确.故选D.

16. 在平面直角坐标系中，设点集$\Omega = \{(x, y)|(x - k)^2 + (y - k^2)^2 = 4|k|, k \in \mathbb{Z}\}$，有结论：
①存在直线$l$，使得$\Omega$中不存在点在$l$上，但存在点在$l$两侧；
②存在直线$l$，使得$\Omega$中存在无数个点在$l$上。
关于以上两个结论，正确的判断是（ ）
A. ①成立，②成立
B. ①成立，②不成立
C. ①不成立，②成立
D. ①不成立，②不成立

答案： B　[命题点]动点轨迹和直线与圆、圆与圆的位置关系
[深度解析]当k=0时,集合Ω2={(x,,y)1(x−k)²+(y−k²)²=
　41kl,k∈Z{={(0,0)1;当k＞0时,集合Ω={(x,y)1(x−k)²+(y−k²)²=4lkl,k∈Z{表示圆心为(k,k²),半径为r=2√k的圆,圆的圆心在抛物线y=x²(x＞0)上,半径r=f(k)=2√k单调递增，相邻两个圆的圆心距d=　$\sqrt{(k+1−k)²+[(k+1)²−k²]²}$=
　　$\sqrt{4k²+4k+2}$,相邻两个圆的半径之和s=2√k+2　$\sqrt{k+1}$因为d＞s有解，所以相邻两个圆之间的位置关系可能相离.当k＜0时，同k＞0的情况，故存在直线I,使得集合Ω中不存在点在l上，而存在点在I两侧，故①正确.若直线I的斜率不存在，显然②不成立,设直线l:y=mx+n,若考虑直线l与圆(x−k)²+(y−k²)²=4lkl的交点个数,d=$\frac{1mk+n−k²1}{\sqrt{m²+1}}$,r=2　$\sqrt{1kl}$,给定m,n,当k足够大时，均有d＞r,故直线l只与有限个圆相交，故②错误.故选B.