《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

19.(本小题满分12分)记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，$b_{n}$为数列$\{S_{n}\}$的前$n$项积，已知$\frac{2}{S_{n}}+\frac{1}{b_{n}}=2$。
　(1)证明:数列$\{b_{n}\}$是等差数列;
　(2)求$\{a_{n}\}$的通项公式。

答案： 19.[命题点]等差数列的证明、数列的递推关系及通项公式
(1)[证明]当n = 1时,b₁ = S₁,则$\frac{2}{b_1}$ + $\frac{1}{b_1}$ = 2,则b₁ = $\frac{3}{2}$;
当n ≥ 2时,Sₙ = $\frac{b_n}{6}$,代入$\frac{2}{S_n}$ + $\frac{1}{b_n}$ = 2得2bₙbₙ₋₁ + bₙ₋₁ = 2bₙbₙ₋₁ + 2bₙ,
则2bₙ = 2bₙ₋₁ + bₙ₋₁,所以bₙ - bₙ₋₁ = $\frac{1}{2}$(n ≥ 2). 3分
故数列{bₙ}是首项为$\frac{3}{2}$,公差为$\frac{1}{2}$的等差数列. 5分
(2)[解]由
(1)得bₙ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$(n - 1) = $\frac{1}{2}$n + 1.
当n = 1时,S₁ = b₁ = $\frac{3}{2}$;
当n ≥ 2时,Sₙ = $\frac{b_n}{b_n - b_{n - 1}}$ = $\frac{\frac{1}{2}n + 1}{\frac{1}{2}(n - 1) + 1}$ = $\frac{n + 2}{n + 1}$,
由S₁ = $\frac{3}{2}$满足上式,得Sₙ = $\frac{n + 2}{n + 1}$.
当n = 1时,a₁ = S₁ = $\frac{3}{2}$; 9分
当n ≥ 2时,aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = $\frac{n + 2}{n + 1}$ - $\frac{n + 1}{n}$ = $\frac{1}{n(n + 1)}$, 11分
因为a₁ = $\frac{3}{2}$不满足上式(易错:注意验证n = 1是否满足aₙ = $\frac{1}{n(n + 1)}$),
故aₙ = $\begin{cases}\frac{3}{2}, n = 1\\\frac{1}{n(n + 1)}, n ≥ 2\end{cases}$ 12分

20.(本小题满分12分)设函数f(x)=ln(a−x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
　　(1)求a;
(2)设函数g(x)=$\frac{x+f(x)}{xf(x)}$,证明:g(x)＜1.

答案： 20.思路导引
　　验证0为极值点;
(2)g(x)=$\frac{x+f(x)}{xf(x)}=\frac{x+\ln(1 - x)}{x\ln(1 - x)}$，范围对分x类的讨论$\ln(1 - x)$的正负→
　　对g(x)＜1进行变形→$\ln(1 - x)＞1 - \frac{1}{1 - x}$构造函数→判断
　　函数的单调性→证得结论.
[命题点]函数极值点的应用，利用导数研究函数的单调性、最值及构造函数证明不等式
(1)[解]令h(x)=xf(x)=xln(a - x)，x∈(-∞,a)，
则h'(x)=$\ln(a - x)+x\cdot\frac{-1}{a - x}=\ln(a - x)-\frac{x}{a - x}$，
由题知h'
(0)=0得lna = 0，则a = 1.
当a = 1时，h'(x)=$\ln(1 - x)-\frac{x}{1 - x}$，x＜1.
当x＜0时，$\ln(1 - x)＞0$，$\frac{x}{x - 1}＞0$，h'(x)＞0；
当0＜x＜1时，$\ln(1 - x)＜0$，$\frac{x}{x - 1}＜0$，h'(x)＜0.
故x = 0为h(x)的极值点，满足题意.综上有a = 1　　　　　4分
(2)[证明]由
(1)得f(x)=$\ln(1 - x)$，g(x)=$\frac{x+\ln(1 - x)}{x\ln(1 - x)}$，定义域为(-∞,0)∪(0,1).
当x＜0时，$\ln(1 - x)＞0$，则$x\ln(1 - x)＜0$；
当0＜x＜1时，$\ln(1 - x)＜0$，则$x\ln(1 - x)＜0$（提示：根据x的范围分类讨论，判断$x\ln(1 - x)$的正负）.　　　　　　　　　　6分
要证g(x)＜1，即证$x+\ln(1 - x)＞x\ln(1 - x)$，
即证$(1 - x)\ln(1 - x)＞-x$.
而1 - x＞0，即证$\ln(1 - x)＞\frac{-x}{1 - x}=1-\frac{1}{1 - x}$　　　　　　　　　8分
令t = 1 - x，则t＞0且t≠1，即证$\ln t＞1-\frac{1}{t}$，即证$\ln t - 1+\frac{1}{t}＞0$（t＞0且t≠1）.
令p(t)=$\ln t - 1+\frac{1}{t}$，t＞0且t≠1，
则p'(t)=$\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}=\frac{t - 1}{t^2}$
当0＜t＜1时，p'(t)＜0，p(t)单调递减；当t＞1时，p'(t)＞0，p(t)单调递增.
又t→1时，p(t)→0，
所以p(t)＞0，即g(x)＜1.　　　　　　　　　　　　　　12分
易错警示
①注意复合函数求导，f'(x)=$\frac{-1}{a - x}$
②h'
(0)=0不是x = 0为极值点的充要条件，仅为必要条件.故
(1)中应有检验步骤.