《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x²+bx+c,曲线y=f(x)在点($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)处的切线与y轴垂直.
　(1)求b;
　(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明:f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

答案： 21.思路导引
(1)求f'(x)，将已知条件f'($\frac{1}{2}$)=0转化，求b；
(2)解f'(x)=0，确定f(x)的单调性与极值，由f
(1)=c + $\frac{1}{4}$，f(-1)=c - $\frac{1}{4}$确定f(x)零点的范围，进而得出结论。
[命题点]导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性、极值、零点
(1)[解]f'(x)=3x² + b。
依题意得f'($\frac{1}{2}$)=0，即$\frac{3}{4}$ + b = 0，故b = -$\frac{3}{4}$。3分（曲线在点($\frac{1}{2}$, f($\frac{1}{2}$))处的切线与y轴垂直，则f'($\frac{1}{2}$)=0，由此列方程求b的值）
(2)[证明]由
(1)知f(x)=x³ - $\frac{3}{4}$x + c，f'(x)=3x² - $\frac{3}{4}$。
令f'(x)=0，解得x = -$\frac{1}{2}$或x = $\frac{1}{2}$。4分
f'(x)与f(x)的情况为：
|x|(-∞, -$\frac{1}{2}$)| - $\frac{1}{2}$|(-$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$)| $\frac{1}{2}$|($\frac{1}{2}$, +∞)|
|----|----|----|----|----|----|
|f'(x)| + | 0 | - | 0 | + |
|f(x)| ↗ | c + $\frac{1}{4}$ | ↘ | c - $\frac{1}{4}$ | ↗ |
5分
因为f
(1)=c + $\frac{1}{4}$，所以当c＜ - $\frac{1}{4}$时，f(x)只有大于1的零点。6分
因为f(-1)=c - $\frac{1}{4}$，所以当c＞$\frac{1}{4}$时，f(x)只有小于 - 1的零点。7分
由题设可知 - $\frac{1}{4}$＜c＜$\frac{1}{4}$。8分
当c = - $\frac{1}{4}$时，f(x)只有两个零点$\frac{1}{2}$和1。9分
当c = $\frac{1}{4}$时，f(x)只有两个零点 - 1和$\frac{1}{2}$。10分
当 - $\frac{1}{4}$＜c＜$\frac{1}{4}$时，f(x)有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁∈(-1, - $\frac{1}{2}$)，x₂∈(- $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$)，x₃∈($\frac{1}{2}$, 1)。11分（三次函数存在三个零点，则f(x)极大值·f(x)极小值＜0）
综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1。12分

△22.(本小题满分10分)选修4−4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为$\begin{cases}x = 2 - 3t - t^{2}\\y = 2 - t + t^{2}\end{cases}$(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,
B两点.
　　(1)求|AB|;
　　(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

答案： [命题点]对直线的参数方程的理解、直角坐标方程与极坐标方程的互化
[解]
(1)因为t≠1，由2 - t - t² = 0得t = - 2，所以C与y轴的交点为(0, 12)；由2 - 3t + t² = 0得t = 2，所以C与x轴的交点为(-4, 0)。3分
故|AB| = 4$\sqrt{10}$。5分
(2)由
(1)可知，直线AB的直角坐标方程为$\frac{x}{-4}$ + $\frac{y}{12}$ = 1，将x = ρcosθ，y = ρsinθ代入，8分
得直线AB的极坐标方程3ρcosθ - ρsinθ + 12 = 0。10分

△23.(本小题满分10分)选修4−5:不等式选讲
　　设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
　　(1)证明:ab+bc+ca＜0;
　　(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥$\sqrt[3]{4}$

答案： 23.[命题点]不等式的证明及基本不等式的应用
[证明]
(1)由题设可知,a,b,c均不为零，所以ab + bc + ca = $\frac{1}{2}$[(a + b + c)²−(a² + b² + c²)] = −$\frac{1}{2}$(a² + b² + c²)＜0. 5分
(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc = 1,a = −(b + c),所以a＞0, b＜0,c＜0. 8分
由bc≤$\frac{(b + c)²}{4}$,可得abc≤$\frac{a³}{4}$,故a≥$\sqrt[3]{4}$,所以max{a,b,c}≥$\sqrt[3]{4}$ 10分
关键点拨
本题第
(2)问由于涉及max{a,b,c},因此可先设出其最大值为a,利用abc = 1,a = −(b + c)判断出a＞0,b＜0,c＜0,结合bc≤$\frac{(b + c)²}{4}$,然后变形求出a的范围.