《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

1.已知集合A={x|−5＜x²＜5},B={−3,−1,0,2,3},则
A∩B=　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.{−1,0}　　　　　　　　B.{2,3}
　
C.{−3,−1,0}　　　　　　D.{−1,0,2}

答案： A [命题点]集合的交集运算
[深度解析]因为A = {x | -1 ≤ x ≤ 0}，B = {-1, 0}，所以A ∩ B = {-1, 0}，故选A。

2.若$\frac{1}{z−1}$=1+i,则z=　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.−1−i　　　　　　　　　B.−1+i
　
C.1−i　　　　　　　　　　D.1+i

答案： C [命题点]复数的四则运算
[深度解析]由$\frac{2}{z - 1}$ = 1 + i，可得$\frac{z - 1 + 1}{z - 1}$ = 1 + i，即1 + $\frac{1}{z - 1}$ = 1 + i，所以$\frac{1}{z - 1}$ = i，所以z - 1 = $\frac{1}{i}$ = -i，所以z = 1 - i，故选C。

3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b−4a),则x=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.−2　　　　　　　　　　B.−1
　
C.1　　　　　　　　　　　D.2

答案： D [命题点]平面向量的数量积与向量垂直的关系
[深度解析]由题意知b - 4a = (2, x) - 4(0, 1) = (2, x - 4)，又b ⊥ (b - 4a)，所以2×2 + x(x - 4) = 0，即x² - 4x + 4 = 0，解得x = 2，故选D。

4.已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,则cos(α−β)=
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.−3m　　　　　　　　　B.−$\frac{m}{3}$
　
C.$\frac{m}{3}$　　　　　　　　　　D.3m

答案： A [命题点]三角恒等变换
[深度解析]由tanαtanβ = 2，可得$\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}$ = 2，即sinαsinβ = 2cosαcosβ。由cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ = m，可得cosαcosβ = -m，sinαsinβ = -2m，所以cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ = -3m，故选A。

5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为　$\sqrt{3}$,则圆锥的体积为　　　　　　(　　　)
　
A.　$\sqrt{3}$π　　　　　　　　　B.3√3π
　
C.　$\sqrt{3}$　　　　　　　　　D.9$\sqrt{3}$π
　　　　　　　−x²−2ax−a,x＜0,

答案： B [命题点]圆柱与圆锥的侧面积和体积计算
[深度解析]设圆柱与圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，已知圆锥的高为$\sqrt{3}$，则$l = \sqrt{r^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{r^{2} + 3}$。又圆柱与圆锥的侧面积相等，所以2πr×$\sqrt{3}$ = πr$\sqrt{r^{2} + 3}$，解得r = 3，所以圆锥的体积V = $\frac{1}{3}$π×3²×$\sqrt{3}$ = 3$\sqrt{3}$π，故选B。

6.已知函数$\varphi(x)=\begin{cases}-x^{2}-2ax - a, & x\lt0 \\ e^{x}+\ln(x + 1), & x\geq0\end{cases}$在$R$上单调递增，
则$a$的取值范围是　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$(-\infty,0]$　　　　　　
　B.$[-1,0]$
C.$[-1,1]$　　　　　　　
　D.$[0,+\infty)$

答案： 6.B　[命题点]分段函数的单调性
[深度解析]当x＜0时,函数f(x)=−x²−2ax−a=−(x+a)²+a²−a, 若函数f(x)在(−∞,0)上单调递增,则有−a≥0,即a≤0;当x≥0时,函数f(x)=e^x+ln(x+1),函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)在R上单调递增,所以−a≤e^0+ln(0+1)=1,解得a≥−1.综上可得−1≤a≤0.故选B.

7.当$x\in[0,2\pi]$时，曲线$y = \sin x$与$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6})$的交点个数为　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.3　　　　　　　　　　
　B.4
C.6　　　　　　　　　　
　D.8

答案：
7.C　[命题点]正弦型函数的图像
[深度解析]令3x−$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ,k∈Z,则x=$\frac{2π}{9}$+$\frac{kπ}{3}$,k∈Z,又x∈[0,2π],所以x=$\frac{2π}{9}$,$\frac{5π}{9}$,$\frac{8π}{9}$,$\frac{11π}{9}$,$\frac{14π}{9}$,$\frac{17π}{9}$
令3x−$\frac{π}{6}$=kπ,k∈Z,则x=$\frac{π}{18}$+$\frac{kπ}{3}$,k∈Z,
又x∈[0,2π],所以x=$\frac{π}{18}$,$\frac{7π}{18}$,$\frac{13π}{18}$,$\frac{19π}{18}$,$\frac{25π}{18}$,$\frac{31π}{18}$,
如图,作出函数y=sinx与y=2sin(3x−$\frac{π}{6}$)在[0,2π]上的大致图像，由图可知，两函数图像共有6个交点.故选C;

8.已知函数$f(x)$的定义域为$R$，$f(x)\gt f(x - 1) + \varphi(x - 2)$，且当$x\lt3$时$f(x)=x$，则下列结论中一定正确的是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$\varphi(10)\gt100$　　　　　
　B.$\varphi(20)\gt1000$
C.$\varphi(10)\lt1000$　　　　　
　D.$f(20)\lt10000$

答案： 8.B　[命题点]抽象函数的性质
[深度解析]由f(x)＞f(x−1)+f(x−2),且当x＜3时，f(x)=x知f
(3)＞f
(2)+f
(1)=3,f
(4)＞f
(3)+f
(2)＞3+2=5,
f
(5)＞f
(4)+f
(3)＞5+3=8,f
(6)＞f
(5)+f
(4)＞8+5=13,
以此类推，类似斐波那契数列，
f
(1)=1,f
(2)=2,f
(3)＞3,
f
(4)＞5,f
(5)＞8,f
(6)＞13,...,
即1,2,＞3,＞5,＞8,＞13,...,则f
(10)＞89,f
(16)＞1597,所以f
(20)＞f
(16)＞1597,故B正确,A错误;
由f(x)＞f(x−1)+f(x−2)知f(x)取比f(x−1)+f(x−2)大的数即可，所以f(x)无最大值，故C，D错误.故选B.

9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口。为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值$\overline{x}=2.1$，样本方差$s^{2}=0.01$。已知该种植区以往的亩收入$X$服从正态分布$N(1.8,0.1^{2})$，假设推动出口后的亩收入$Y$服从正态分布$N(\overline{x},s^{2})$，则(若随机变量$Z$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，则$P(Z\lt\mu + \sigma)\approx0.8413)$　　　　　　　　　(　　　)
A.$P(X\gt2)\gt0.2$　　　　
　B.$P(X\gt2)\lt0.5$
C.$P(Y\gt2)\gt0.5$　　　　
　D.$P(Y\gt2)\lt0.8$

答案： 9.BC　[命题点]正态分布
[深度解析]由题可得X~N(1.8,0.1²),Y~N(2.1,0.1²),所以P(X＞2)=P(X＞μ+2σ)＜P(X＞μ+σ)≈1−0.8413=0.1587＜0.2,故A错误,B正确;P(Y＞2)=P(Y＞μ−σ)≈0.8413＞0.5,故C 正确，D错误

10. 设函数$\varphi(x)=(x - 1)^2(x - 4)$，则（ ）
A. $x = 3$是$\varphi(x)$的极小值点
B. 当$0\lt x\lt1$时，$f(x)\lt f(x^2)$
C. 当$1\lt x\lt2$时，$-4\lt\varphi(2x - 1)\lt0$
D. 当$-1\lt x\lt0$时，$f(2 - x)\gt f(x)$

答案： 10.ACD　[命题点]利用导数求函数的单调区间、极值
[深度解析]由题可得$f^\prime(x)=2(x - 1)(x - 4)+(x - 1)^2=3x^2 - 12x + 9$，令$f^\prime(x)＞0$，即$3x^2 - 12x + 9＞0$，得$x＜1$或$x＞3$；令$f^\prime(x)＜0$，得$1＜x＜3$，所以$f(x)$在$(-\infty,1)$，$(3,+\infty)$上单调递增，在$(1,3)$上单调递减，所以$x = 3$是$f(x)$的极小值点，A正确。当$0＜x＜1$时，$0＜x^2＜x＜1$，所以$f(x)＞f(x^2)$，B错误。当$1＜x＜2$时，$1＜2x - 1＜3$，因为$f(x)$在$(1,3)$上单调递减，所以$-4＜f(2x - 1)＜0$，C正确。$f(2 - x)=(2 - x - 1)^2(2 - x - 4)=(x - 1)^2(-x - 2)$，所以$f(2 - x) - f(x)=(x - 1)^2(-x - 2 - x + 4)=(x - 1)^2(-2x + 2)$，令$(x - 1)^2(-2x + 2)＞0$，得$x＜1$，所以当$-1＜x＜0$时，$f(2 - x)＞f(x)$成立，D正确。故选ACD。