《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

13. 已知单位向量$\vec{a}$，$\vec{b}$的夹角为$45^{\circ}$，$k\vec{a} - \vec{b}$与$\vec{a}$垂直，则$k =$______。

答案： 13.$\frac{\sqrt{2}}{2}$　[命题点]平面向量的数量积运算
[深度解析]由题意知|a| = |b| = 1，所以a·b = |a||b|cos45° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。因为ka - b与a垂直，所以(ka - b)·a = 0，即ka² - a·b = 0，即k - $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 0，得k = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

14. $4$名同学到$3$个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去$1$个小区，每个小区至少安排$1$名同学，则不同的安排方法共有______种。

答案： 14.36　[命题点]排列组合中的分组分配问题
[深度解析]此题分两步完成：第一步，将4名同学分成3组，有$C_{4}^{2}$种分法；第二步，将所分3组进行排列，有$A_{3}^{3}$种排法。所以不同的安排方法共有$C_{4}^{2}$$A_{3}^{3}$ = 36种。

15. 设复数$z_1$，$z_2$满足$|z_1| = |z_2| = 2$，$z_1 + z_2 = \sqrt{3} + i$，则$|z_1 - z_2| =$______。

答案：
15.2√3　[命题点]复数的运算及其几何意义
[深度解析]解法一(代数法)：设z₁ = a + bi，a，b∈R，则z₂ = $\sqrt{3}$ - a + (1 - b)i。由|z₁| = |z₂| = 2，得$\begin{cases}a² + b² = 4\\(\sqrt{3} - a)² + (1 - b)² = 4\end{cases}$，即$\begin{cases}a² + b² = 4\\\sqrt{3}a + b = 2\end{cases}$。因为z₁ - z₂ = 2a - $\sqrt{3}$ + (2b - 1)i，所以|z₁ - z₂| = $\sqrt{(2a - \sqrt{3})² + (2b - 1)²}$ = $\sqrt{4(a² + b² - \sqrt{3}a - b) + 4}$ = 2√3。
解法二(复数的几何意义)：设z₁，z₂在复平面内对应的向量分别为$\overrightarrow{OZ₁}$，$\overrightarrow{OZ₂}$。由题意知|$\overrightarrow{OZ₁}$| = |$\overrightarrow{OZ₂}$| = 2，|$\overrightarrow{OZ₁}$ + $\overrightarrow{OZ₂}$| = |$\sqrt{3}$ + i| = 2，则以$\overrightarrow{OZ₁}$，$\overrightarrow{OZ₂}$为邻边的平行四边形为菱形，且∠Z₂OZ₁ = 120°，如图所示。则|z₁ - z₂| = |$\overrightarrow{OZ₁}$ - $\overrightarrow{OZ₂}$| = 2√3。

解法三(向量法)：原题等价于平面向量a，b满足|a| = |b| = 2，且a + b = ($\sqrt{3}$，1)，求|a - b|。因为|a + b|² + |a - b|² = 2|a|² + 2|b|²，所以2² + |a - b|² = 16，所以|a - b| = 2√3。

△16.设有下列四个命题:
P₁:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
P₂:过空间中任意三点有且仅有一个平面.

P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行

P4:若直线lC平面α，直线m⊥平面α,则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是

答案： 16.①③④[命题点]空间点、线、面的位置关系，复合命题的真假的判断
[深度解析]对于p₁：三条直线l₁，l₂，l₃两两相交且不过同一点，设直线l₁∩l₂ = A，l₂∩l₃ = B，l₁∩l₃ = C，则由l₁∩l₂ = A，知l₁，l₂共面，设此面为α，则由B∈l₂，l₂⊂α，知B∈α，由C∈l₁，l₁⊂α，知C∈α，又B∈l₃，C∈l₃，所以l₃⊂α，所以l₁，l₂，l₃共面于α，故p₁为真命题。对于p₂：若三点不共线，则过这三点有且仅有一个平面；若三点共线，则过这三点可有无数个平面，故p₂为假命题。
对于p₃：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故p₃为假命题。对于p₄：若m⊥α，则m垂直于α内的所有直线，因为l⊂α，所以m⊥l，故p₄为真命题。综上可知，p₁∧p₄为真命题，p₁∧p₂为假命题，p₂∨p₃为真命题，¬p₃∨¬p₄为真命题，故真命题的序号为①③④。
易错警示：判断命题p₁∧p₄，p₁∧p₂，¬p₂∨p₃，¬p₃∨¬p₄的真假时，注意只有两个命题都为真命题时，“∧”命题为真，两个命题至少有一个为真命题时，“∨”命题为真。

17.（本小题满分 12 分)AABC中,sin²A-sin²B-sin²C =

sin B sin C.

（(1)求A;

（2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.

答案：

18.(本小题满分12分)某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据$(x_i,y_i)(i = 1,2,\cdots,20)$,其中$x_i$和$y_i$分别表示第$i$个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得$\overline{x}=60$,$\overline{y}=1200$,$\sum_{i = 1}^{20}(x_i - \overline{x})^2 = 80$,$\sum_{i = 1}^{20}(y_i - \overline{y})^2 = 9000$,$\sum_{i = 1}^{20}(x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y}) = 800$.
　(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘地块数);
　(2)求样本$(x_i,y_i)(i = 1,2,\cdots,20)$的相关系数(精确到0.01);
　(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
　

答案： 18.[命题点]样本估计总体、回归分析思想及抽样方法
[解]
(1)由已知得样本平均数$\overline{y}=\frac{1}{20}\sum_{i = 1}^{20}y_{i}=60$，从而该地区这种野生动物数量的估计值为$60×200 = 12000$. 4分
(2)样本$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,\cdots,20)$的相关系数
$r=\frac{\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{20}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{20}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}=\frac{800}{\sqrt{80×9000}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx0.94$. 8分
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样. 10分
理由如下:由
(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. 12分
易错警示:要先明确抽样方法是样方法，以及步骤，再进一步陈述理由，理由要充分、全面.