《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

14. $(x^{2}+\frac{2}{x})^{6}$的展开式中常数项是______（用数字作答）。

答案： 14.240　[命题点]二项展开式的常数项
[深度解析]$(x^2 + \frac{1}{x})^6$展开式的通项$T_{r + 1} = C_6^r(x^2)^{6 - r}(\frac{1}{x})^r = 2^r\cdot C_6^r x^{12 - 3r}$。令$12 - 3r = 0$，得$r = 4$。故展开式中的常数项为$C_6^4\cdot 2^4 = 240$。

15. 已知圆锥的底面半径为$1$，母线长为$3$，则该圆锥内半径最大的球的体积为______。

答案：
15.$\frac{\sqrt{2}\pi}{3}$
[命题点]圆锥内切球的体积
[深度解析]由题意分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球，如图，作出圆锥与其内切球的轴截面。设截面为$\triangle SAB$，球心为$O$，球半径为$r$。

易知$AB = 2$，$SA = SB = 3$，则$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2}×2×2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$；又$S_{\triangle OAB} + S_{\triangle OSA} + S_{\triangle OSB} = \frac{1}{2}r(3 + 3 + 2) = 2\sqrt{2}$，则$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$。所以圆锥内半径最大的球的体积为$\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{\sqrt{2}\pi}{3}$。
一题多解：易知半径最大的球为该圆锥的内切球。圆锥$PE$及其内切球$O$如图所示，设内切球的半径为$R$。

则$\sin\angle BPE = \frac{OC}{OP} = \frac{BE}{PB} = \frac{1}{3}$，所以$OP = 3OC = 3R$，所以$PE = 4R = \sqrt{PB^2 - BE^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$，所以$R = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以内切球的体积为$\frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{\sqrt{2}\pi}{3}$，即该圆锥内半径最大的球的体积为$\frac{\sqrt{2}\pi}{3}$。
关键点拨：几何问题求解

16. 关于函数$f(x)=\sin x+\frac{1}{\sin x}$有如下四个命题：
①$f(x)$的图像关于$y$轴对称。
②$f(x)$的图像关于原点对称。
③$f(x)$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{2}$对称。
④$f(x)$的最小值为$2$。
其中所有真命题的序号是______。

答案： 16.②③
[命题点]三角函数的定义域、奇偶性、图像的对称性及最值
[深度解析]因为$f(x) = \sin x + \frac{1}{\sin x}$的定义域满足$\sin x \neq 0$，即$\{x|x \neq k\pi,k \in Z\}$，所以函数$f(x)$的定义域关于原点对称。$f(-x) = \sin(-x) + \frac{1}{\sin(-x)} = -\sin x - \frac{1}{\sin x} = -f(x)$，所以函数$f(x)$为奇函数，其图像关于原点对称，因此①错误，②正确；又$f(\pi - x) = \sin(\pi - x) + \frac{1}{\sin(\pi - x)} = \sin x + \frac{1}{\sin x} = f(x)$，故由$f(\pi - x) = f(x)$知函数$f(x)$的图像关于直线$x = \frac{\pi}{2}$对称，因此③正确；令$t = \sin x$，则$t \in [-1,0) \cup (0,1]$，由于$y = t + \frac{1}{t}$在$[-1,0)$，$(0,1]$上单调递减，因此$y \in (-\infty,-2] \cup [2,+\infty)$，所以函数$f(x)$无最小值，因此④错误（提示：当$\sin x \lt 0$时$f(x) \lt 0$可直接判断）。
方法速记：$y = ax + \frac{b}{x}(a＞0,b＞0)$在$(-\sqrt{\frac{b}{a}},0)$，$(0,\sqrt{\frac{b}{a}})$上单调递减，在$(-\infty,-\sqrt{\frac{b}{a}})$，$(\sqrt{\frac{b}{a}},+\infty)$上单调递增。

17.(本小题满分12分)设数列{aₙ}满足a₁ = 3，aₙ₊₁ = 3aₙ − 4n。
(1)计算a₂，a₃，猜想{aₙ}的通项公式并加以证明；
(2)求数列{2ⁿaₙ}的前n项和Sₙ。

答案： 17.[命题点]利用数列的递推关系求通项公式、错位相减法求和
[解]
(1)a₂ = 5，a₃ = 7.
猜想aₙ = 2n + 1. 2分
由已知可得
aₙ₊₁ - (2n + 3) = 3[aₙ - (2n + 1)]，
aₙ - (2n + 1) = 3[aₙ₋₁ - (2n - 1)]，
……
a₃ - 5 = 3(a₂ - 3).
因为a₁ = 3，所以aₙ = 2n + 1. 6分
(2)由
(1)得2ⁿaₙ = (2n + 1)2ⁿ，
所以Sₙ = 3×2 + 5×2² + 7×2³ +... + (2n + 1)×2ⁿ. ①
从而2Sₙ = 3×2² + 5×2³ + 7×2⁴ +... + (2n + 1)×2ⁿ⁺¹. ②
① - ②得\nSₙ = 3×2 + 2×2² + 2×2³ +... + 2×2ⁿ - (2n + 1)×2ⁿ⁺¹. 10分
所以Sₙ = (2n - 1)2ⁿ⁺¹ + 2. 12分
易错警示：在写“Sₙ”与“qSₙ”的表达式时，应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sₙ - qSₙ”的表达式.

18. (本小题满分12分)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位:天):

(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1, 2, 3, 4 的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

答案： 18.[命题点]频率估计概率，利用频数分布表求平均数以及独立性检验在实际问题中的应用
[解]
(1)由所给数据，该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
4分
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
$\frac{1}{100}$(100×20 + 300×35 + 500×45)=350.
8分
(3)根据所给数据，可得2×2列联表:
人次≤400 人次＞400
空气质量好 33 37
空气质量不好 22 8
根据列联表得$K^{2}=\frac{100×(33×8 - 22×37)^{2}}{55×45×70×30}\approx5.820$.
10分
由于5.820＞3.841，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
12分