《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为$2\pi$，侧面积分别为$S_甲$和$S_乙$，体积分别为$V_甲$和$V_乙$。若$\frac{S_甲}{S_乙}= 2$，则$\frac{V_甲}{V_乙}=$______ ( )
A. $\sqrt{5}$
B. $2\sqrt{2}$
C. $\sqrt{10}$
D. $\frac{5\sqrt{10}}{4}$

答案： 9.C　[命题点]圆锥侧面展开图、扇形的面积公式、圆锥的体积公式
[深度解析]设圆锥甲、乙的母线长为R，高分别为h₁，h₂，底面圆的半径分别为r₁，r₂，侧面展开图的圆心角分别为α₁，α₂。因为$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}$ = 2，所以$\frac{\frac{1}{2}α₁R²}{\frac{1}{2}α₂R²}$ = 2，得α₁ = 2α₂。因为甲、乙侧面展开图的圆心角之和为2π，所以α₁ = $\frac{4π}{3}$，α₂ = $\frac{2π}{3}$，所以甲、乙底面圆周长分别为$\frac{4}{3}$πR，$\frac{2}{3}$πR，所以r₁ = $\frac{2}{3}$R，r₂ = $\frac{1}{3}$R。则h₁² = R² - r₁² = R² - $\frac{4}{9}$R² = $\frac{5}{9}$R²，h₂² = R² - r₂² = R² - $\frac{1}{9}$R² = $\frac{8}{9}$R²，所以h₁ = $\frac{\sqrt{5}}{3}$R，h₂ = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$R。根据圆锥的体积公式，可得V₁ = $\frac{1}{3}$h₁πr₁² = $\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{5}}{3}$R×$\frac{4}{9}$R²π = $\frac{4\sqrt{5}}{81}$R³π，V₂ = $\frac{1}{3}$h₂πr₂² = $\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$R×$\frac{1}{9}$R²π = $\frac{2\sqrt{2}}{81}$R³π，所以$\frac{V₁}{V₂}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ = $\sqrt{10}$，故选C。
一题多解：由$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}$ = 2及甲、乙两个圆锥母线长相等，得侧面展开图的圆心角之比为2。设甲、乙两个圆锥的母线长l = 3，底面半径分别为R₁，R₂，高分别为h₁，h₂，又由两个圆锥的侧面展开图恰好拼成周长为6π的圆，得2πR₁ = 4π，2πR₂ = 2π，解得R₁ = 2，R₂ = 1。由勾股定理知h₁ = $\sqrt{l² - R₁²}$ = $\sqrt{5}$，h₂ = $\sqrt{l² - R₂²}$ = 2$\sqrt{2}$，所以$\frac{V₁}{V₂}$ = $\frac{\frac{1}{3}πR₁²h₁}{\frac{1}{3}πR₂²h₂}$ = $\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$ = $\sqrt{10}$，故选C。

10. 椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a＞b＞0)$的左顶点为$A$，点$P$，$Q$均在$C$上，且关于$y$轴对称。若直线$AP$，$AQ$的斜率之积为$\frac{1}{4}$，则$C$的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

答案：
10.A　[命题点]椭圆的离心率
[深度解析]由题意设P(x₀,y₀),Q(−x₀,y₀),x₀∈(−a,a)。因为A为左顶点，所以A(−a,0)，所以kₐₚ = $\frac{y₀}{x₀ + a}$，kₐq = $\frac{y₀}{−x₀ + a}$。因为直线AP，AQ的斜率之积为$\frac{1}{4}$，所以kₐₚ·kₐq = $\frac{y₀²}{a² - x₀²}$ = $\frac{1}{4}$（提示：遇到两直线斜率之积问题则常常需要设点表示出两直线斜率，建立等式求解）。又因为点P在椭圆上，所以$\frac{x₀²}{a²} + \frac{y₀²}{b²} = 1$，整理可得$y₀² = b²(1 - \frac{x₀²}{a²}) = \frac{b²(a² - x₀²)}{a²}$，即$\frac{y₀²}{a² - x₀²} = \frac{b²}{a²}$，所以$\frac{1}{4} = \frac{b²}{a²}$。根据$a² = b² + c²$，可得$\frac{c²}{a²} = \frac{3}{4}$，则离心率$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故选A。

快解

11. 设函数$f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})$在区间$(0,\pi)$恰有三个极值点、两个零点，则$\omega$的取值范围是（ ）
A. $(\frac{5}{3},\frac{13}{6}]$
B. $(\frac{5}{3},\frac{19}{6}]$
C. $(\frac{13}{6},\frac{8}{3}]$
D. $(\frac{13}{6},\frac{19}{6}]$

答案：
11.C　[命题点]正弦型函数的图像及性质
[深度解析]由题知ω＞0，又因为0＜x＜π，所以$\frac{π}{3}$＜ωx + $\frac{π}{3}$＜πω + $\frac{π}{3}$。设t = ωx + $\frac{π}{3}$，作y = sint的部分图像，如图所示。要满足函数f(x)在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则$\frac{5π}{2}$＜πω + $\frac{π}{3}$ ≤ 3π（易错：因为0＜x＜π，所以左端不可以取等，右端可以取等），解得$\frac{13}{6}$ ≤ ω ≤ $\frac{8}{3}$，故选C。

12. 已知$a = \frac{31}{32}$，$b=\cos\frac{1}{4}$，$c = 4\sin\frac{1}{4}$，则（ ）
A. $c＞b＞a$
B. $b＞a＞c$
C. $a＞b＞c$
D. $a＞c＞b$

答案：
12.A　[命题点]构造函数，利用函数的单调性比较大小
[深度解析]构造函数h(x) = 1 - x² - cosx，x∈[0,$\frac{π}{2}$]，则g(x) = h'(x) = - 2x + sinx，g'(x) = - 2 + cosx ≤ 0，所以g(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上单调递减，所以g(x) ≤ g
(0) = 0，且g(x)不恒为0，因此，h(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上单调递减，所以a - b = h($\frac{1}{4}$)＜h
(0) = 0，即a＜b。$\frac{c}{b}$ = $\frac{4sin\frac{1}{4}tan\frac{1}{4}}{cos\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}$ = $\frac{4tan\frac{1}{4}}{ \frac{1}{4}}$，显然当x∈(0,$\frac{π}{2}$)时，tanx＞x，所以$\frac{c}{b}$ = $\frac{4tan\frac{1}{4}}{ \frac{1}{4}}$＞1，即b＜c。因此c＞b＞a，故选A。
一题多解
因为当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，tanx＞x，于是$\frac{c}{b}$ = $\frac{4sin\frac{1}{4}tan\frac{1}{4}}{cos\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}}$ = $\frac{4tan\frac{1}{4}}{ \frac{1}{4}}$＞1，所以有c＞b。
构造函数f(x) = cosx + x²，所以f'(x) = 2x - sinx，当x＞0时，f'(x) = 2x - sinx＞0，f(x)在[0,+∞)上单调递增，于是f($\frac{1}{4}$)＞f
(0)，即cos$\frac{1}{4}$ + ($\frac{1}{4}$)²＞1，所以cos$\frac{1}{4}$＞$\frac{15}{16}$，从而有b＞a。
因此c＞b＞a，故选A。

13. 设向量$\vec{a}$，$\vec{b}$的夹角的余弦值为$\frac{1}{3}$，且$|\vec{a}| = 1$，$|\vec{b}| = 3$，则$(2\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{b}=$________。

答案： 13.11　[命题点]平面向量的数量积运算
[深度解析]因为|a| = 1，|b| = 3，cos＜a,b＞ = $\frac{1}{3}$，所以(2a + b)·b = 2a·b + |b|² = 2|a|·|b|·cos＜a,b＞ + |b|² = 2×1×3×$\frac{1}{3}$ + 3² = 11。

14. 若双曲线$y^{2}-\frac{x^{2}}{m^{2}} = 1(m＞0)$的渐近线与圆$x^{2}+y^{2}-4y + 3 = 0$相切，则$m=$________。

答案： 14.$\frac{\sqrt{3}}{3}$　[命题点]双曲线的渐近线、圆的标准方程及直线与圆的位置关系
[深度解析]由题意得双曲线的渐近线方程为y = ±mx。将圆的一般方程转化为标准方程，可得x² + (y - 2)² = 1，则圆的圆心为(0,2)，半径为1。因为圆与双曲线的渐近线相切，所以圆心到双曲线渐近线的距离等于圆的半径，所以$\frac{|2m|}{\sqrt{1 + m²}}$ = 1，解得m² = $\frac{1}{3}$。
因为m＞0，所以m = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

15. 从正方体的$8$个顶点中任选$4$个，则这$4$个点在同一个平面的概率为________。

答案： 15.$\frac{6}{35}$　[命题点]古典概型及其应用
[深度解析]依题意，正方体共有6个正方形的面和6个对角面，因此从8个顶点中任选4个，这4个点在同一个平面的概率P = $\frac{12}{C_{8}^{4}}$ = $\frac{6}{35}$。

16. 已知$\triangle ABC$中，点$D$在边$BC$上，$\angle ADB = 120^{\circ}$，$AD = 2$，$CD = 2BD$。当$\frac{AC}{AB}$取得最小值时，$BD=$________。

答案：
16.$\sqrt{3}$ - 1　[命题点]解三角形
[深度解析]令BD = t(t＞0)，以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，过点D垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(2t,0)，A(1,$\sqrt{3}$)，B( - t,0)，所以$\frac{AC²}{AB²}$ = $\frac{(2t - 1)² + 3}{(t + 1)² + 3}$ = $\frac{4t² - 4t + 4}{t² + 2t + 4}$ = 4 - $\frac{12t + 12}{t² + 2t + 4}$ = 4 - $\frac{12}{t + 1 + \frac{3}{t + 1}}$ ≥ 4 - 2$\sqrt{3}$（提示：变形为基本不等式的形式求最值），当且仅当t + 1 = $\sqrt{3}$，即t = $\sqrt{3}$ - 1时取等号，所以BD = $\sqrt{3}$ - 1。
一题多解
设BD = x(x＞0)，则CD = 2x。
在△ADB中，由余弦定理得AB² = x² + 4 + 2x。
在△ADC中，由余弦定理得AC² = 4x² + 4 - 4x。
所以$\frac{AC²}{AB²}$ = $\frac{4x² - 4x + 4}{x² + 2x + 4}$(x＞0)。
设f(x) = $\frac{x² - x + 1}{x² + 2x + 4}$(x＞0)，则f'(x) = $\frac{3x² + 6x - 6}{(x² + 2x + 4)²}$，
令f'(x) = 0，得x = $\sqrt{3}$ - 1（负值舍去），
可知f(x)在(0,$\sqrt{3}$ - 1)上单调递减，在($\sqrt{3}$ - 1,+∞)上单调递增，所以f(x)在x = $\sqrt{3}$ - 1处取得最小值。
所以当$\frac{AC}{AB}$取得最小值时，BD = $\sqrt{3}$ - 1。

17.(本小题满分12分)记$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和.
　已知$\frac{2S_n}{n}+n=2a_n + 1$.
　(1)证明:$\{a_n\}$是等差数列;
　(2)若$a_4$,$a_7$,$a_9$成等比数列,求$S_n$的最小值.

答案： 17.[命题点]根据$S_n$与$a_n$的递推关系证明等差数列及求数列前$n$项和的最小值
(1)[证明]依题意，因为$\frac{2S_n}{n}+n = 2a_n + 1$，所以$2S_n = 2na_n + n - n^2$，①
当$n\geq2$时，$2S_{n - 1} = 2(n - 1)a_{n - 1} + (n - 1) - (n - 1)^2$。②
由① - ②可得，$2a_n = 2na_n - 2(n - 1)a_{n - 1} - 2n + 2$，4分
所以$a_n - a_{n - 1} = 1$，$n\geq2$，$n\in N^*$，所以$\{a_n\}$是等差数列。6分
(2)[解]由
(1)可知，数列$\{a_n\}$的公差为$1$。
因为$a_4$，$a_7$，$a_9$成等比数列，所以$a_7^2 = a_4a_9$，即$(a_1 + 6)^2 = (a_1 + 3)(a_1 + 8)$，解得$a_1 = - 12$，所以$a_n = - 12 + (n - 1)\times1 = n - 13$。8分
又当$a_n\leq0$时，$n\leq13$（易错：注意$a_n$等于$0$时的情况），
所以当$n = 12$或$n = 13$时，$S_n$取得最小值，
即最小值为$S_{12} = S_{13} = - 78$。12分
一题多解
(2)若$a_4$，$a_7$，$a_9$成等比数列，则$a_7^2 = a_4a_9$，所以$(a_1 + 6)^2 = (a_1 + 3)(a_1 + 8)$，解得$a_1 = - 12$。8分
所以$a_n = n - 13$，所以$S_n = \frac{n(-12 + n - 13)}{2} = \frac{1}{2}(n^2 - 25n) = \frac{1}{2}(n - \frac{25}{2})^2 - \frac{625}{8}$。10分
又$n\in N^*$，所以当$n = 12$或$n = 13$时，$S_n$最小，则$S_n$的最小值为$S_{12} = S_{13} = - 78$。12分