《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

19.(本小题满分12分)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
　　　　　
　　(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
　　(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
　　(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.0001).

答案： [命题点]频率分布直方图、平均数、条件概率
[解]
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为
$0.001×10×5 + 0.002×10×15 + 0.012×10×25 + 0.017×10×35 + 0.023×10×45 + 0.020×10×55 + 0.017×10×65 + 0.006×10×75 + 0.002×10×85 = 47.9$岁。 4分
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间$[20,70)$的概率$P = 0.012×10 + 0.017×10 + 0.023×10 + 0.020×10 + 0.017×10 = 0.89$。 8分
(3)设事件$A$：此人患这种疾病，事件$B$：此人年龄位于区间$[40,50)$，则由题意知$P(AB) = 23\%×0.1\% = 0.023\%$，$P(B) = 16\%$，所以若此人年龄位于$[40,50)$， 10分
则此人患这种疾病的概率$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0.023\%}{16\%}≈0.0014$。 12分

20.(本小题满分12分)如图,PO是三棱锥P−ABC的高,PA = PB,AB⊥AC,E为PB的中点.
　(1)证明:OE//平面PAC;
　(2)若∠ABO = ∠CBO = 30°,PO = 3,PA = 5,求二面角
C−AE−B的正弦值.
　　　　　　　　　　

答案：
20.[命题点]空间中直线与平面的位置关系、二面角、空间向量的应用
(1)[证明]取AB的中点D,连接DP,DO,DE;
因为PA = PB,所以PD⊥AB.
因为PO为三棱锥P - ABC的高，所以PO⊥平面ABC.
因为AB⊂平面ABC,所以PO⊥AB.
又因为PO,PD⊂平面POD,且PO∩PD = P,
所以AB⊥平面POD. 2分
因为OD⊂平面POD,所以AB⊥OD.
又因为AB⊥AC,所以OD//AC.
因为OD⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,所以OD//平面PAC.
因为D,E分别为BA,BP的中点，所以DE//PA.
因为DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE//平面PAC.
又OD,DE⊂平面ODE,OD∩DE = D,
所以平面ODE//平面PAC. 4分
又OE⊂平面ODE,所以OE//平面PAC. 5分

(2)[解]连接OA.因为PO⊥平面ABC,OA,OB⊂平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB.又PA = PB,
所以OA = OB = $\sqrt{PA^{2}-PO^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4.
则在△AOB中,∠OAB = ∠ABO = 30°,
所以OD = OAsin30° = 4×$\frac{1}{2}$ = 2,
AB = 2AD = 2OAc0s30° = 2×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 4$\sqrt{3}$.
又因为∠ABC = ∠ABO + ∠CBO = 60°,
所以在Rt△ABC中,AC = ABtan60° = 4$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$ = 12. 7分
以A为坐标原点，AB,AC所在直线分别为x,y轴，以过点A垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则
A(0,0,0),B(4$\sqrt{3}$,0,0),C(0,12,0),P(2$\sqrt{3}$,2,3),E(3$\sqrt{3}$,1,$\frac{3}{2}$),所以$\overrightarrow{AE}$ = (3$\sqrt{3}$,1,$\frac{3}{2}$),$\overrightarrow{AB}$ = (4$\sqrt{3}$,0,0),$\overrightarrow{AC}$ = (0,12,0).
设平面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$ = (x₁,y₁,z₁)，
则$\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AE}=0\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}3\sqrt{3}x₁ + y₁+\frac{3}{2}z₁ = 0\\12y₁ = 0\end{cases}$
令z₁ = 2$\sqrt{3}$,则$\overrightarrow{n}$ = (-1,0,2$\sqrt{3}$).
设平面AEB的法向量为$\overrightarrow{m}$ = (x₂,y₂,z₂),
则$\begin{cases}\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{AE}=0\\\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{AB}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}3\sqrt{3}x₂ + y₂+\frac{3}{2}z₂ = 0\\4\sqrt{3}x₂ = 0\end{cases}$
令z₂ = 2,则$\overrightarrow{m}$ = (0,-3,2). 10分
设二面角C - AE - B的平面角为θ,
所以|cosθ| = |cos＜$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$＞| = |$\frac{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$| = $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{13}\times\sqrt{13}}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{13}$,所以sinθ = $\sqrt{1 - (\frac{4\sqrt{3}}{13})^{2}}$ = $\frac{11}{13}$ 12分