《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

21.(本小题满分12分)已知抛物线C:x²=2py(p＞0)的焦点为F,且F与圆M:x²+(y+4)²=1上点的距离的最小值为4.
　(1)求p;
　(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点，求△PAB面积的最大值.

答案： 21.
[命题点]抛物线的基本性质、抛物线的切线及三角形面积的最值问题
[解]
(1)由题得M(0, -4)，圆M的半径为1，F(0, $\frac{p}{2}$)。
则F与圆M上点的距离的最小值为$\frac{p}{2}$ + 4 - 1 = 4（提示：圆M外一点F与圆上点的距离的最小值为|FM| - r，最大值为|FM| + r，其中r为圆M的半径），解得p = 2。3分
(2)由
(1)知抛物线方程为x² = 4y，由题得直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y = kx + t，A(x₁, y₁)，B(x₂, y₂)。
联立$\begin{cases}y = kx + t \\ x² = 4y \end{cases}$，消去y整理得x² - 4kx - 4t = 0，则△ = 16k² + 16t ＞ 0，x₁ + x₂ = 4k，x₁x₂ = -4t。
则|AB| = $\sqrt{1 + k²}$|x₁ - x₂| = $\sqrt{1 + k²}$$\sqrt{(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂}$ = $\sqrt{1 + k²}$$\sqrt{16k² + 16t}$ = 4$\sqrt{1 + k²}$$\sqrt{k² + t}$。6分
抛物线C：y = $\frac{x²}{4}$，求导得y' = $\frac{x}{2}$，则在点A(x₁, y₁)处切线的斜率为$\frac{x₁}{2}$，在点B(x₂, y₂)处切线的斜率为$\frac{x₂}{2}$（提示：通过导数的几何意义求得切线的斜率）。
所以切线PA的方程为y = $\frac{x₁}{2}$(x - x₁) + $\frac{x₁²}{4}$，切线PB的方程为y = $\frac{x₂}{2}$(x - x₂) + $\frac{x₂²}{4}$。
联立两切线方程$\begin{cases}y = \frac{x₁}{2}x - \frac{x₁²}{4} \\ y = \frac{x₂}{2}x - \frac{x₂²}{4} \end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{x₁ + x₂}{2} \\ y = \frac{x₁x₂}{4} \end{cases}$，即P($\frac{x₁ + x₂}{2}$, $\frac{x₁x₂}{4}$)，即P(2k, -t)。8分
又P在圆M上，则(2k)² + (-t + 4)² = 1，有k² = $\frac{-t² + 8t - 15}{4}$。又k² ≥ 0，所以3 ≤ t ≤ 5。
点P(2k, -t)到直线AB：kx - y + t = 0的距离d = $\frac{|2k² + 2t|}{\sqrt{k² + 1}}$。
所以S△PAB = $\frac{1}{2}$|AB|·d = 4(k² + t)$\sqrt{k² + 1}$ = 4×$\frac{-t² + 12t - 15}{4}$$\sqrt{\frac{-t² + 8t - 15}{4} + 1}$。
而 -t² + 12t - 15 = -(t - 6)² + 21，其中3 ≤ t ≤ 5。
故t = 5时，S△PAB取得最大值，最大值为4×$\frac{20}{4}$$\sqrt{\frac{20}{4}}$ = 20$\sqrt{5}$。12分

22.(本小题满分10分)选修4−4:坐标系与参数方程
　　在直角坐标系xOy中,⊙C的圆心为C(2,1),半径为1.
　　(1)写出⊙C的一个参数方程;
　　(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求这两条切线的极坐标方程.

答案：
22.[命题点]参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化、直线与圆相切的问题
[解]
(1)因为⊙C的圆心为C(2, 1)，半径为1，所以⊙C的参数方程为$\begin{cases}x = 2 + cosθ \\ y = 1 + sinθ \end{cases}$（θ为参数）。5分
(2)由图知⊙C的切线的斜率存在，设切线方程y = k(x - 4) + 1，即kx - y - 4k + 1 = 0。
由直线与圆相切得圆心C(2, 1)到切线的距离为1，则$\frac{|2k - 1 - 4k + 1|}{\sqrt{k² + 1}}$ = 1，解得k = ±$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
则切线方程为$\frac{\sqrt{3}}{3}$x - y - $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ + 1 = 0和 -$\frac{\sqrt{3}}{3}$x - y + $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ + 1 = 0，即x - $\sqrt{3}$y - 4 + $\sqrt{3}$ = 0和x + $\sqrt{3}$y - 4 - $\sqrt{3}$ = 0。
则极坐标方程为ρcosθ - $\sqrt{3}$ρsinθ - 4 + $\sqrt{3}$ = 0和ρcosθ + $\sqrt{3}$ρsinθ - 4 - $\sqrt{3}$ = 0。10分

△23.(本小题满分10分)选修4−5:不等式选讲
　　已知函数f(x)=|x - a| + |x + 3|.
　　(1)当a = 1时,求不等式f(x)≥6的解集;
　　(2)若f(x)＞ - a,求a的取值范围.

答案： 23.[命题点]绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用
[解]
(1)当a=1时f(x)=｜x−11+lx+31≥6.
　当x≥1时,2x+2≥6,得x≥2;
　当−3＜x＜1时,4≥6,无解;
　当x≤−3时,−(2x+2)≥6,得x≤−4.
　综上,不等式∮(x)≥6的解集为(−∞,−4]U[2,+∞).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分
(2)由题有lx−al+lx+3l+a＞0恒成立，
　而jlx−al+lx+31+a≥lx+3−(x−a)1+a=|3+al+a,
　当且仅当(x−a)(x+3)≤0时,等号成立，
　故13+al+a＞0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分当a≥−3时,2a+3＞0,则a＞−$\frac{3}{2}$;
　当a＜−3时,−3＞0,无解.
　综上,a的取值范围为($\frac{3}{2}$,+0）.　　　　　　　　　　10分