《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

10.将$4$个$1$和$2$个$0$随机排成一行，则$2$个$0$不相邻的概率为　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{1}{3}$　　　
　B. $\frac{2}{5}$　　　
　C. $\frac{2}{3}$　　　
　D. $\frac{4}{5}$

答案： 10.C　[命题点]古典概型概率的计算及排列、组合的应用
[深度解析]4个1和2个0随机排成一行，共有$\frac{A_{6}^{6}}{A_{4}^{4}A_{2}^{2}}$ = 15种排法（易错：元素相同的排列不要与元素不同的排列混淆），其中2个0相邻的排法共有$\frac{A_{5}^{5}}{A_{4}^{4}}$ = 5种，所以所求概率P = 1 - $\frac{5}{15}$ = $\frac{2}{3}$，故选C。
一题多解：有15种排法。若2个0不相邻，则先排4个1，有1种排法，形成了5个空，再选2个空插入0有C_{5}^{2} = 10种排法，所以所求概率P = $\frac{10}{15}$ = $\frac{2}{3}$。

11.已知$A,B,C$是半径为$1$的球$O$的球面上的三个点，且$AC \perp BC$，$AC = BC = 1$，则三棱锥$O - ABC$的体积为(　　　)
A. $\frac{\sqrt{2}}{12}$　　
　B. $\frac{\sqrt{3}}{12}$　　　
　C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$　　　
　D. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

答案： 11.A
[命题点]三棱锥的体积和球的有关性质
[深度解析]设线段AB的中点为O'，由题意可知△ABC为等腰直角三角形，点O'是△ABC的外心，所以OO'⊥平面ABC，所以OO'⊥AB。由AC = BC = 1，得AB = $\sqrt{2}$，所以OO' = $\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以Vₒ - ₐₙₙₙ = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×AC×BC×OO' = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{\sqrt{2}}{12}$，故选A。

12.设函数$f(x)$的定义域为$R$；$f(x + 1)$为奇函数，$f(x + 2)$为偶函数，当$x \in [1,2]$时，$f(x) = ax^2 + b$。若$f(0) + f(3) = 6$，则$f(\frac{9}{2}) =$　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $-\frac{9}{4}$　　
　B. $-\frac{3}{2}$　　　
　C. $\frac{7}{4}$　　　
　D. $\frac{5}{2}$

答案： 12.D
[命题点]函数的基本性质
[深度解析]因为f(x + 1)是奇函数，x∈R，所以f(-x + 1) = -f(x + 1)，所以f(x)的图像关于点(1，0)对称，且f
(1) = 0。由f(x + 2)是偶函数，得f(-x + 2) = f(x + 2)，所以函数f(x)的图像关于直线x = 2对称，所以f(x) = -f(-x + 2) = -f(x + 2)，所以f(x) = f(x + 4)，所以函数f(x)是以4为周期的函数。又f
(0) = -f
(2) = -4a - b，f
(3) = f
(1) = a + b = 0，所以f
(0) + f
(3) = -3a = 6，所以a = -2，b = 2，所以f($\frac{9}{2}$) = f($\frac{1}{2}$) = -f($\frac{3}{2}$) = $\frac{5}{2}$，故选D。

13.曲线$y = \frac{2x - 1}{x + 2}$在点$( - 1, - 3)$处的切线方程为________。

答案： 13.5x - y + 2 = 0　[命题点]导数的几何意义
[深度解析]由y = $\frac{2x - 1}{x + 2}$ = $\frac{2(x + 2) - 5}{x + 2}$ = 2 - $\frac{5}{x + 2}$，得y' = $\frac{5}{(x + 2)²}$（另解：y' = ($\frac{2x - 1}{x + 2}$)' = $\frac{2(x + 2) - (2x - 1)}{(x + 2)²}$ = $\frac{5}{(x + 2)²}$），所以切线的斜率k = y'|ₓ = ₋₁ = 5，所以切线方程为y + 3 = 5(x + 1)，即5x - y + 2 = 0。

14.已知向量$\vec{a} = (3,1)$，$\vec{b} = (1,0)$，$\vec{c} = \vec{a} + k\vec{b}$。若$\vec{a} \perp \vec{c}$，则$k =$________。

答案： 14.-$\frac{10}{3}$　[命题点]平面向量运算的坐标表示
[深度解析]c = a + kb = (3 + k，1)，因为a⊥c，所以a·c = 3(3 + k) + 1 = 0，解得k = -$\frac{10}{3}$。

15. 已知$F_1,F_2$为椭圆$C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的两个焦点，$P,Q$为$C$上关于坐标原点对称的两点，且$\vert PQ\vert=\vert F_1F_2\vert$，则四边形$PF_1QF_2$的面积为________。

答案： 8 [命题点]椭圆的定义、几何性质
[深度解析]因为椭圆$C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$，所以$a = 4$，$c^{2}=12$。由题意可知，四边形$PF_{1}QF_{2}$是矩形，且$PF_{1}\perp PF_{2}$。设$\vert PF_{1}\vert = m$，$\vert PF_{2}\vert = n$，所以$\begin{cases}m + n = 2a = 8\\m^{2}+n^{2}=4c^{2}=48\end{cases}$，所以$mn=\frac{(m + n)^{2}-(m^{2}+n^{2})}{2}=8$，所以$S_{四边形PF_{1}QF_{2}} = mn = 8$。
快解：根据焦点三角形的面积公式，得$S_{\triangle PF_{1}F_{2}} = b^{2}\tan\frac{\angle F_{1}PF_{2}}{2}=b^{2}=4$（提示：在椭圆中，由椭圆上一点$P$（非长轴端点）与两个焦点$F_{1}$，$F_{2}$构成的三角形叫做焦点三角形，设$\angle F_{1}PF_{2}=\theta$，则$S_{\triangle PF_{1}F_{2}} = b^{2}\tan\frac{\theta}{2}$），所以$S_{四边形PF_{1}QF_{2}} = 2S_{\triangle PF_{1}F_{2}} = 8$。

16. 已知函数$f(x)=2\cos(\omega x+\varphi)$的部分图像如图所示，则满足条件$(f(\alpha x)-f(-\frac{7\pi}{4}))(f(x)-f(\frac{4\pi}{3}))\gt0$的最小正整数$x$为________。
　　　　　　

答案：
2
思路导引1
$f(x)=2\cos(\omega x + \varphi)$根据图像$\frac{3}{4}T=\frac{13\pi}{12}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}$，$\varphi = 2k\pi - \frac{\pi}{6},k\in Z$，求$f(x)$的解析式，求最小正整数$x$使$(f(x) - 1)f(x)＞0$。
[命题点]函数$y = A\cos(\omega x + \varphi)$的图像和性质
[深度解析]设函数$f(x)$的最小正周期为$T$，由图像可知，$\frac{3}{4}T=\frac{13\pi}{12}-\frac{\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}$，所以$T = \pi$，所以$\omega=\pm2$。当$\omega = 2$时，把点$(\frac{13\pi}{12},2)$的坐标代入$f(x)$的解析式，得$2\cos(2\times\frac{13\pi}{12}+\varphi)=2$，所以$\varphi = 2k\pi - \frac{\pi}{6},k\in Z$，则$f(x)=2\cos(2x + \varphi)=2\cos(2x - \frac{\pi}{6})$；当$\omega = - 2$时，将点$(\frac{13\pi}{12},2)$的坐标代入$f(x)$的解析式，得$2\cos(-2\times\frac{13\pi}{12}+\varphi)=2\cos(\frac{13\pi}{6}-\varphi)=2$，所以$\varphi = 2k\pi + \frac{\pi}{6},k\in Z$，则$f(x)=2\cos(-2x + \varphi)=2\cos(2x - \frac{\pi}{6})$。综上得$f(x)=2\cos(2x - \frac{\pi}{6})$，所以$f(-\frac{7\pi}{4})=2\cos[2\times(-\frac{7\pi}{4})-\frac{\pi}{6}]=1$，$f(\frac{4\pi}{3})=2\cos(2\times\frac{4\pi}{3}-\frac{\pi}{6})=0$，所以$(f(x) - 1)f(x)＞0$，所以$f(x)＜0$或$f(x)＞1$，所以$\cos(2x - \frac{\pi}{6})＜0$或$\cos(2x - \frac{\pi}{6})＞\frac{1}{2}$，所以$\frac{\pi}{2}+2k\pi＜2x - \frac{\pi}{6}＜\frac{3\pi}{2}+2k\pi$或$-\frac{\pi}{3}+2k\pi＜2x - \frac{\pi}{6}＜\frac{\pi}{3}+2k\pi,k\in Z$，即$\frac{\pi}{3}+k\pi＜x＜\frac{5\pi}{6}+k\pi$或$-\frac{\pi}{12}+k\pi＜x＜\frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z$，所以当$k = 0$时，$x$能取到的最小正整数为$2$。
学霸解题技巧：南开大学姜明宇作图定界，避开求解析式。
由所给条件易知函数$f(x)$的最小正周期$T = \pi$。
所以$f(-\frac{7\pi}{4})=f(-2\pi+\frac{\pi}{4})=f(\frac{\pi}{4})$，$f(\frac{4\pi}{3})=f(\pi+\frac{\pi}{3})=f(\frac{\pi}{3}) = 0$。
所以可作出$f(x)$的部分大致图像如图。

由题意，所求范围内$x$须满足$f(x)＞f(\frac{\pi}{4})$或$f(x)＜0$。
由图可得最小正整数$x$为$2$。

17. (本小题满分12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：
　
　(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
　(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
　　

答案： [命题点]频率及独立性检验
[解]
(1)由题中表格可得甲机床生产的产品中一级品的频率为$\frac{150}{200}=\frac{3}{4}$，乙机床生产的产品中一级品的频率为$\frac{120}{200}=\frac{3}{5}$。所以甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{5}$。
(2)由题中表格数据可得$K^{2}=\frac{400\times(150\times80 - 50\times120)^{2}}{200\times200\times270\times130}\approx10.256＞6.635$，所以有$99\%$的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。