《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

22. (本小题满分10分)选修4−4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\begin{cases}x = 2\sqrt{3}\cos t\\y = 2\sin t\end{cases}$(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为$\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{3})+m = 0$.
(1)写出l的直角坐标方程;
(2)若l与C有公共点，求m的取值范围.

答案： [命题点]极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化
[解]
(1)因为直线l的极坐标方程为ρsin(θ + $\frac{π}{3}$) + m = 0，即ρ($\frac{1}{2}$sinθ + $\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ) + m = 0，所以$\frac{1}{2}$y + $\frac{\sqrt{3}}{2}$x + m = 0，即$\sqrt{3}$x + y + 2m = 0。
(2)因为曲线C的参数方程为$\begin{cases}x = 2\sqrt{3}sin t cos t\\y = 2\sqrt{3}(1 - 2sin²t)\end{cases}$(t为参数)，所以x = $\sqrt{3}$sin2t，y = 2$\sqrt{3}$cos2t，由cos2t = $\frac{y}{2\sqrt{3}}$，sin²2t = 1 - cos²2t = 1 - ($\frac{y}{2\sqrt{3}}$)²，又x = $\sqrt{3}$sin2t，所以x = $\sqrt{3}$$\sqrt{1 - (\frac{y}{2\sqrt{3}})^2}$，即x² = 3(1 - $\frac{y²}{12}$)(-2$\sqrt{3}$ ≤ y ≤ 2$\sqrt{3}$)。
联立曲线C与直线l的方程得 - $\frac{y + 2m}{\sqrt{3}}$ = $\sqrt{3}$(1 - $\frac{y²}{12}$)，即3y² - 2y - 12 - 4m = 0(-2$\sqrt{3}$ ≤ y ≤ 2$\sqrt{3}$)。
因为直线l与C有公共点，所以 - $\frac{19}{3}$ ≤ 4m ≤ 10，即 - $\frac{19}{12}$ ≤ m ≤ $\frac{5}{2}$，即m的取值范围为[- $\frac{19}{12}$, $\frac{5}{2}$]。

23.(本小题满分10分)选修4−5:不等式选讲
　　已知a,b,c都是正数,且a²+b+c=1,证明:
　　(1)abc≤$\frac{1}{9}$;
　　(2)$\frac{a}{b+c}$+$\frac{b}{a+c}$+$\frac{c}{a+b}$≤$\frac{1}{2\sqrt{abc}}$

答案： 23.[命题点]基本不等式的应用
[证明]
(1)因为a² + b + c = 1，根据基本不等式$a^{2}+b + c\geqslant3\sqrt[3]{a^{2}bc}$，当且仅当$a^{2}=b = c=\frac{1}{3}$时等号成立。
由$1\geqslant3\sqrt[3]{a^{2}bc}$，两边同时立方可得$1\geqslant27a^{2}bc$，即$a^{2}bc\leqslant\frac{1}{27}$。
又因为$a^{2}=b = c=\frac{1}{3}$，所以$abc\leqslant\frac{1}{9}$。 5分
(2)因为$b + c\geqslant2\sqrt{bc}$，当且仅当$b = c$时等号成立；
$a + c\geqslant2\sqrt{ac}$，当且仅当$a = c$时等号成立；
$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时等号成立。 7分
所以$\frac{a}{b + c}+\frac{b}{a + c}+\frac{c}{a + b}\leqslant\frac{a}{2\sqrt{bc}}+\frac{b}{2\sqrt{ac}}+\frac{c}{2\sqrt{ab}}=\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}{2\sqrt{abc}}$。
因为$a + b + c = 1$，且当$a = b = c=\frac{1}{3}$时，$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}=3\times\frac{1}{3}\times\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{1}{3}}$，$2\sqrt{abc}=2\sqrt{(\frac{1}{3})^3}=2\times\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}$，$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c}}{2\sqrt{abc}}=\frac{\sqrt{\frac{1}{3}}}{\frac{2}{3\sqrt{3}}}=\frac{3}{2}$，当且仅当$a = b = c=\frac{1}{3}$时等号成立。 10分