《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

21. (本小题满分12分)已知函数$f(x)=\sin^{2}x\sin2x$。
(1)讨论$f(x)$在区间$(0,\pi)$的单调性；
(2)证明：$\vert f(x)\vert\leq\frac{3\sqrt{3}}{8}$；
(3)设$n\in N$，证明：$\sin^{2}x\sin^{2}2x\sin^{2}4x\cdots\sin^{2}2^{n}x\leq\frac{3}{4^{n}}$。

答案： 21.[命题点]导数与函数单调性、三角函数的周期性与最值
(1)[解]f(x)=cosx(sinxsin2x)+sinx(sinxsin2x)'
=2sinxcosxsin2x + 2sin²xcos2x
=2sinxsin3x. 1分
当x∈(0,$\frac{π}{3}$)∪($\frac{2π}{3}$,π)时，f'(x)＞0；2分
当x∈($\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$)时，f'(x)＜0. 3分
所以f(x)在区间(0,$\frac{π}{3}$)，($\frac{2π}{3}$,π)单调递增，在区间($\frac{π}{3}$,$\frac{2π}{3}$)单调递减. 4分
(2)[证明]因为f
(0)=f(π)=0，由
(1)知，f(x)在区间[0,π]的最大值为f($\frac{π}{3}$)=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$，最小值为f($\frac{2π}{3}$)= - $\frac{3\sqrt{3}}{8}$.而f(x)是周期为π的周期函数，故|f(x)|≤$\frac{3\sqrt{3}}{8}$. 8分(由
(1)得f(x)在[0,π]上的最大值和最小值，再由f(x)的周期为π，即可得证)
(3)[证明]由于
(sin²xsin²2x…sin²2ⁿx)'
=|sin²xsin²2x…sin²2ⁿx|
=|sinx||sin²xsin²2x…sin²2ⁿ⁻¹xsin2ⁿx||sin²2ⁿx|
=|sinx||f(x)f(2x)…f(2ⁿ⁻¹x)||sin²2ⁿx|
≤|f(x)f(2x)…f(2ⁿ⁻¹x)|. 10分
所以sin²xsin²2x…sin²2ⁿx≤($\frac{3\sqrt{3}}{8}$)ⁿ=$\frac{3ⁿ}{4ⁿ}$. 12分(根据f(x)f(2x)f(2²x)…f(2ⁿ⁻¹x)=sin²xsin²2xsin²2²x…sin²2ⁿxsin2ⁿx，对所给的不等式左侧进行恒等变形，结合
(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式)

22. (本小题满分10分)选修4 - 4：坐标系与参数方程
已知曲线$C_1$，$C_2$的参数方程分别为$C_1$：$\begin{cases}x = 4\cos^{2}\theta, \\ y = 4\sin^{2}\theta\end{cases}$（$\theta$为参数），$C_{2}$：$\begin{cases}x = t+\frac{1}{t}, \\ y = t-\frac{1}{t}\end{cases}$（$t$为参数）。
(1)将$C_1$，$C_2$的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，$x$轴正半轴为极轴建立极坐标系。设$C_1$，$C_2$的交点为$P$，求圆心在极轴上，且经过极点和$P$的圆的极坐标方程。

答案： 22.[命题点]参数方程与普通方程的互化以及圆的直角坐标方程和极坐标方程
[解]
(1)C₁的普通方程为x + y = 4(0≤x≤4). 2分
由C₂的参数方程得x²=t² + $\frac{1}{t²}$ + 2，y²=t² + $\frac{1}{t²}$ - 2，所以x² - y² = 4.
故C₂的普通方程为x² - y² = 4. 5分
(2)由$\begin{cases}x + y = 4\\x² - y² = 4\end{cases}$得$\begin{cases}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{3}{2}\end{cases}$，所以P的直角坐标为($\frac{5}{2}$,$\frac{3}{2}$). 6分
设所求圆的圆心的直角坐标为(x₀,0)，由题意得x₀²=(x₀ - $\frac{5}{2}$)² + $\frac{9}{4}$，解得x₀ = $\frac{17}{10}$. 8分
因此，所求圆的极坐标方程为ρ = $\frac{17}{5}$cosθ. 10分

△23.(本小题满分10分)选修4−5:不等式选讲
　　已知函数f(x)=|x - a²| + |x - 2a + 1|.
　　(1)当a = 2时,求不等式f(x)≥4的解集;
　　(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.

答案： 23.[命题点]绝对值不等式的性质、解法
当a = 2时，f(x) =
$\begin{cases}7 - 2x, & x \leq 3 \\1, & 3 ＜ x \leq 4 \\2x - 7, & x ＞ 4\end{cases}$
2分
[解]
(1)因此，不等式f(x) ≥ 4的解集为$\{x|x \leq \frac{3}{2}或x \geq \frac{11}{2}\}$。
5分
(2)因为f(x) = |x - a²| + |x - 2a + 1| ≥ |a² - 2a + 1| = (a - 1)²，故当(a - 1)² ≥ 4，即|a - 1| ≥ 2时，f(x) ≥ 4。
7分
所以当a ≥ 3或a ≤ -1时，f(x) ≥ 4。
8分
当 -1 ＜ a ＜ 3时，f(a²) = |a² - 2a + 1| = (a - 1)² ＜ 4。
9分
所以a的取值范围是$(-\infty, -1] \cup [3, +\infty)$。
10分
关键点拨：
(1)根据绝对值的性质去绝对值符号，求解不等式的解集；
(2)利用绝对值三角不等式可得f(x) ≥ (a - 1)²，由此构造不等式求解，并验证当 -1 ＜ a ＜ 3时，存在a²使f(a²) ＜ 4成立，不满足题意，从而得a的取值范围。