《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

18. (本小题满分12分)已知公比大于1的等比数列$\{a_n\}$满足$a_2 + a_4 = 20$，$a_3 = 8$。
(1) 求$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 记$b_m$为$\{a_n\}$在区间$(0, m]$（$m \in N$）中的项的个数，求数列$\{b_m\}$的前100项和$S_{100}$。

答案： [命题点]等比数列的通项公式和根据新定义分类求和
[解]
(1)设$\{a_{n}\}$的公比为q。由题设得$a_{1}q + a_{1}q^{2} = 20$，$a_{1}q^{2} = 8$，解得$q = \frac{1}{2}$(舍去)，$q = 2$。3分
由题设得$a_{1} = 2$。
所以$\{a_{n}\}$的通项公式为$a_{n} = 2^{n}$。5分
(2)由题设及
(1)知$b_{1} = 0$，且当$2^{n} \leq m \lt 2^{n + 1}$时，$b_{m} = n$。7分
所以$S_{100} = b_{1} + (b_{2} + b_{3}) + (b_{4} + b_{5} + b_{6} + b_{7}) + \cdots + (b_{32} + b_{33} + \cdots + b_{63}) + (b_{64} + b_{65} + \cdots + b_{100}) = 0 + 1\times2 + 2\times2^{2} + 3\times2^{3} + 4\times2^{4} + 5\times2^{5} + 6\times(100 - 63) = 480$。12分
易错警示：其实只需发现$2^{n}$出现在区间右端点处的规律，即可得到$2^{n}$的个数为$b_{m}$的值，在100以内，m为正整数，$b_{m}$为$2^{0}$个0，$2^{1}$个1，$2^{2}$个2，$2^{3}$个3，$2^{4}$个4，$2^{5}$个5，$100 - (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5}) = 37$个6。

19. (本小题满分12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO₂浓度（单位: μg/m²），得下表:

(1) 估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO₂浓度不超过150”的概率；
(2) 根据所给数据，完成下面的2×2列联表:

(3) 根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO₂浓度有关?

答案： [命题点]频率估计概率和独立性检验
[解]
(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO₂浓度不超过150的天数为32 + 18 + 6 + 8 = 64。2分
因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO₂浓度不超过150的概率的估计值为$\frac{64}{100}$ = 0.64。4分
(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：
PM2.5 [0, 75] (75, 115]
SO₂
[0, 150] 64 16
(150, 475] 10 10 7分
(3)根据
(2)的列联表得$K^{2} = \frac{100\times(64\times10 - 16\times10)^{2}}{80\times20\times74\times26} \approx 7.484$。10分
由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO₂浓度有关。12分
方法速记：K观测值k的大小作为检验在多大程度上认为两个分类变量有关系的标准，若$k \geq k_{0}$，则有$(1 - P(K^{2} \geq k_{0}))\times100\%$的把握认为两个分类变量有关系；否则，就认为根据样本数据没有充分理由说明两个分类变量有关系。