《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

19.(14分)21世纪汽车博览会在上海举行,某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
　　　　
　现将这25个汽车模型进行编号.
　(1)若小明从25个汽车模型中随机选取一个模型,记事件A为小明取到红色外观的模型,事件B为小明取到米色内饰的模型,求P(B)和P(B|A),并据此判断事件A和事件B是否独立;
　(2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从25个模型中选取两个汽车模型,给出以下抽奖规则:
　①选到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色;
　②按结果的可能性大小设置奖项,概率越小奖金越高;
　③该抽奖活动的奖金金额为一等奖600元、二等奖300元、三等奖150元.
　　请你分析奖项对应的结果,设X为奖金金额,写出X的分布列并求出X的数学期望.

答案： 19.[命题点]古典概型求概率、条件概率、相互独立事件的判断、离散型随机变量的分布列和数学期望
[解]
(1)红色外观模型中，棕色内饰8个，米色内饰2个，所以P(A)=$\frac{8+2}{25}$=$\frac{10}{25}$=$\frac{2}{5}$.　　　　　　　　　　　　　　　　1分米色内饰模型中，红色外观2个，蓝色外观3个，所以P(B)=
　$\frac{3+2}{25}$=$\frac{1}{5}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分红色外观、米色内饰的模型有2个，
　所以P(AB)=$\frac{2}{25}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分2
　则P(BIA)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$$\frac{25}{2}$=$\frac{1}{5}$.　　　　　　　　　　　　　4分5
　因为P(A)P(B)=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{25}$=P(AB),即P(A)P(B)=P(AB),所以事件A和事件B独立.　　　　　　　　　　　　　　6分
(2)由题意知X的可能取值为600,300,150.　　　　　　　7分由题意，外观和内饰均为同色的概率P=$\frac{C²2+C²+C²+C²}{C²}$=$\frac{98}{300}$=
　$\frac{49}{150}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分外观和内饰都异色的概率P2=$\frac{CC+C'C}{C}$=$\frac{48}{300}$=$\frac{4}{25}$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分仅外观或仅内饰同色的概率P3=1−$\frac{49}{150}$−$\frac{4}{25}$=$\frac{77}{150}$另解;P3=
　$\frac{CC+CC+CC+CC}{C}$=$\frac{77}{150}${　　　　　　　　　　　　10分
因为$\frac{77}{150}$＞$\frac{49}{150}$＞$\frac{4}{25}$,
所以P(X=150)=$\frac{77}{150}$,P(X=300)=$\frac{49}{150}$,P(X=600)=$\frac{4}{25}$,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　11分则X的分布列如下，
　　　　　　X　　　150　　　300　　　600
　　　　　　P　　　$\frac{77}{150}$　　　$\frac{49}{150}$　　　$\frac{4}{25}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分则数学期望E(X)=150×$\frac{77}{150}$+300×$\frac{49}{150}$+600×$\frac{4}{25}$=271(元).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　14分

20.(16分)已知曲线Γ:y²=4x,第一象限内点A在Γ上,A的纵坐标为a.
　(1)若A到Γ的准线的距离为3,求a的值;
　(2)若a=4,B为x轴上一点,线段AB的中点在Γ上,求点B的坐标和坐标原点O到直线AB的距离;
　(3)直线l:x = −3,P是第一象限内Γ上异于A的一点,直线PA交l于点Q,点H是点P在直线l上的投影,若点A满足性质“当点P变化时,|HQ|＞4恒成立”,求a的取值范围.

答案：
20. 思路导引
(1) 抛物线的定义→点A的横坐标代入y² = 4x求a的值;
(2) a = 4→A(4, 4)，设B(b, 0)→线段AB的中点坐标代入y² = 4x求b的值→直线AB的方程→点O到直线AB的距离;
(3) 设P($\frac{t^{2}}{4}$, t)，A($\frac{a^{2}}{4}$, a)，H( - 3, t)(t ≠ a, t ＞ 0)→直线AP的方程，令x = - 3求点Q的坐标→|HQ| = |t - a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$|，利用基本不等式求|HQ|的最小值为4$\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+3}$ - 2a，|HQ| ＞ 4恒成立→$\sqrt{a^{2}+12}$ - 2a ＞ 4求a的取值范围(a = 2也符合题意)
[命题点] 抛物线的定义及其性质、直线与抛物线的综合运用
[解]
(1) 抛物线T: y² = 4x的准线方程为x = - 1，1分
因为点A到抛物线T的准线的距离为3，
所以点A的横坐标为2，3分
则a² = 4×2 = 8(a ＞ 0)，
解得a = 2$\sqrt{2}$，4分
(2) 当a = 4时，点A的横坐标为$\frac{4^{2}}{4}$ = 4，则A(4, 4)。
设B(b, 0)，则线段AB的中点为($\frac{b + 4}{2}$, 2)。5分
由题意可得2² = 4×$\frac{b + 4}{2}$，解得b = - 2，所以B( - 2, 0)。6分
所以直线AB的斜率k$_{AB}$ = $\frac{4 - 0}{4 + 2}$ = $\frac{2}{3}$，
所以直线AB的方程为y = $\frac{2}{3}$(x + 2)，即2x - 3y + 4 = 0，7分
所以原点O到直线AB的距离为$\frac{|4|}{\sqrt{2^{2}+3^{2}}}$ = $\frac{4\sqrt{13}}{13}$，8分
(3) 如图
设P($\frac{t^{2}}{4}$, t)(t ≠ a, t ＞ 0)，
A($\frac{a^{2}}{4}$, a)，则H( - 3, t)，直线AP的
斜率k$_{AP}$ = $\frac{t - a}{\frac{t^{2}}{4}-\frac{a^{2}}{4}}$ = $\frac{4}{t + a}$，
故直线AP的方程为y - a = $\frac{4}{t + a}$(x - $\frac{a^{2}}{4}$)。10分
令x = - 3，得y = a - ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$，
即Q( - 3, a - ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$)，
则|HQ| = |t - a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$|。
依题意，|t - a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$| ＞ 4恒成立。12分
解法一(基本不等式求最值):
(下面利用基本不等式求|HQ| = |t - a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$|的最小值，由|HQ|$_{min}$ ＞ 4，求出a的取值范围)
因为a ＞ 0，t ＞ 0，所以t + a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$ - 2a ≥ 4$\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+3}$ - 2a ＞ 0，
则|HQ| = |t - a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$|的最小值为4$\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+3}$ - 2a，
当且仅当t + a = ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$，即t = $\sqrt{a^{2}+12}$ - a时，等号成立(因为t ≠ a，即$\sqrt{a^{2}+12}$ - a ≠ a，所以a ≠ 2)。13分
则4$\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+3}$ - 2a ＞ 4，即2$\sqrt{\frac{a^{2}}{4}+3}$ ＞ 2 + a，即$\sqrt{a^{2}+12}$ ＞ 2 + a，
则a² + 12 ＞ a² + 4a + 4，解得0 ＜ a ＜ 2。14分
又当a = 2时，|HQ| = |t - 2 + $\frac{16}{t + 2}$|，
因为t + 2 + $\frac{16}{t + 2}$ - 4 ≥ 2$\sqrt{\frac{16}{t + 2}(t + 2)}$ - 4 = 4，当且仅当t = 2时等号成立，
又a ≠ t，所以t + 2 + $\frac{16}{t + 2}$ - 4 ＞ 4，即当a = 2时，也符合题意。15分
故实数a的取值范围为(0，2]。16分
解法二(分离参数法):
因为|t - a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$| = $\frac{(t - a)(t + a)+(\frac{a^{2}}{4}+3)\times4}{t + a}$ = $\frac{t^{2}+12}{t + a}$(提示: a ＞ 0，t ＞ 0)，13分
所以|t - a + ($\frac{a^{2}}{4}$ + 3)$\frac{4}{t + a}$| ＞ 4恒成立，即$\frac{t^{2}+12}{t + a}$ ＞ 4恒成立。
因为a ＞ 0，t ＞ 0，所以4a ＜ t² - 4t + 12在t ＞ 0上恒成立。
因为t² - 4t + 12 = (t - 2)² + 8 ≥ 8，所以4a ＜ 8，解得0 ＜ a ＜ 2；14分
又当a = 2时，4a = 8，又t ≠ a，即t ≠ 2，所以t² - 4t + 12 ＞ 8，即当a = 2时，也符合题意。15分
故实数a的取值范围为(0, 2]。16分