《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

1. 已知集合$M = \{ - 2, - 1,0,1,2\}$，$N = \{ x|x^2 - x - 6\geq0\}$，则$M\cap N =$ ( )
A. $\{ - 2, - 1,0,1\}$
B. $\{ 0,1,2\}$
C. $\{ - 2\}$
D. $\{ 2\}$

答案： 1.C　[命题点]一元二次不等式的解法及集合的交集运算
[深度解析]由x²−x−6≥0，得x≤−2或x≥3，则N={x|x≤−2或x≥3}。
∵M={−2,−1,0,1,2}，
∴M∩N={−2}，故选C。

2. 已知$z = \frac{1 - i}{2 + 2i}$，则$z - \overline{z} =$ ( )
A. $-i$
B. $i$
C. $0$
D. $1$

答案： 2.A　[命题点]复数的四则运算及共轭复数的概念
[深度解析]z=$\frac{1 - i}{2 + 2i}$=$\frac{(1 - i)^2}{2(1 + i)(1 - i)}$=$\frac{-2i}{4}$=$-\frac{1}{2}i$，则$\overline{z}$=$\frac{1}{2}i$，
∴z - $\overline{z}$=$-\frac{1}{2}i - \frac{1}{2}i$= - i，故选A。

3. 已知向量$\vec{a} = (1,1)$，$\vec{b} = (1, - 1)$。若$(\vec{a}+\lambda\vec{b})\perp(\vec{a}+\mu\vec{b})$，则 ( )
A. $\lambda+\mu = 1$
B. $\lambda+\mu = - 1$
C. $\lambda\mu = 1$
D. $\lambda\mu = - 1$

答案： 3.D　[命题点]平面向量的坐标运算及垂直
[深度解析]由于$\vec{a}$=(1,1)，$\vec{b}$=(1, - 1)，则$\vec{a}$ + λ$\vec{b}$=(1,1)+(λ, - λ)=(1 + λ,1 - λ)，$\vec{a}$ + μ$\vec{b}$=(1,1)+μ(1, - 1)=(1 + μ,1 - μ)。
又
∵($\vec{a}$ + λ$\vec{b}$)⊥($\vec{a}$ + μ$\vec{b}$)，
∴($\vec{a}$ + λ$\vec{b}$)·($\vec{a}$ + μ$\vec{b}$)=0，即(1 + λ)(1 + μ)+(1 - λ)(1 - μ)=0，解得λμ = - 1，故选D。

4. 设函数$f(x) = 2\cos(x - \alpha)$在区间$(0,1)$单调递减，则$\alpha$的取值范围是 ( )
A. $(-\infty, - 2]$
B. $[ - 2,0)$
C. $(0,2]$
D. $[2, +\infty)$

答案： 4.D　[命题点]复合函数的单调性
[深度解析]因为y = 2^x在R上是增函数，所以函数y = x(x - 2)=x² - 2x=(x - 1)² - 1在(0,1)上单调递减（提示：复合函数的单调性遵循“同增异减”原则），所以对称轴x = 1≤$\frac{a}{2}$，解得a≥2，即a的取值范围是[2,+∞)，故选D。

5. 设椭圆$C_1:\frac{x^2}{a^2}+y^2 = 1(a\gt1)$，$C_2:\frac{x^2}{4}+y^2 = 1$的离心率分别为$e_1$，$e_2$。若$e_2 = \sqrt{3}e_1$，则$a =$ ( )
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{6}$

答案： 5.A　[命题点]椭圆的离心率
[深度解析]由椭圆C的方程知离心率e₁=$\frac{\sqrt{a² - 1}}{a}$，由椭圆C的方程知e₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。又
∵e₂ = $\sqrt{3}$e₁，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\sqrt{3}$$\frac{\sqrt{a² - 1}}{a}$，化简得a² = 4a² - 4，
∴a² = $\frac{4}{3}$。
∵a＞1，
∴a = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。故选A。

6. 过点(0,−2)与圆$x² + y² - 4x - 1 = 0$相切的两条直线的夹角为$\alpha$，则$\sin\alpha =$　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 1
B. $\frac{\sqrt{15}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{4}$

答案：
6.B　[命题点]直线与圆相切、二倍角的正弦公式
[深度解析]设圆x² + y² - 4x - 1 = 0为圆C，化简得(x - 2)² + y² = 5，圆心为C(2,0)，半径r = $\sqrt{5}$。如图，

设∠CPA = θ，则α = 2θ，sinθ = $\frac{|CA|}{|CP|}$ = $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{(2 - 0)² + [0 - (-2)]²}}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}$，易知cosθ＞0，则cosθ = $\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，所以sinα = sin2θ = 2sinθcosθ = $\frac{\sqrt{15}}{4}$。故选B。

7. 记$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，设甲：$\{a_{n}\}$为等差数列；乙：$\{\frac{S_{n}}{n}\}$为等差数列，则　　　　　　　　(　　　)
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： 7.C　[命题点]等差数列的判断，充分、必要条件的判断
[深度解析]充分性:若数列{aₙ}为等差数列，设其公差为d(常数)，则Sₙ = na₁ + $\frac{n(n - 1)}{2}$d，
∴$\frac{Sₙ}{n}$ = a₁ + $\frac{n - 1}{2}$d，则$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}$ - $\frac{Sₙ}{n}$ = (a₁ + $\frac{n}{2}$d) - (a₁ + $\frac{n - 1}{2}$d) = $\frac{d}{2}$(常数)，故数列{$\frac{Sₙ}{n}$}是首项为a₁，公差为$\frac{d}{2}$的等差数列，充分性成立；
必要性:若数列{$\frac{Sₙ}{n}$}为等差数列，设其公差为d'(常数)，则$\frac{Sₙ}{n}$ = $\frac{S₁}{1}$ + (n - 1)d'，当n = 1时，$\frac{S₁}{1}$ = a₁，
∴Sₙ = na₁ + n(n - 1)d'，当n ≥ 2时，aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = [na₁ + n(n - 1)d'] - [(n - 1)a₁ + (n - 1)(n - 2)d'] = a₁ + 2(n - 1)d'，当n = 1时，a₁符合上式，显然数列{aₙ}是首项为a₁，公差为2d'的等差数列，因此必要性成立。故甲是乙的充要条件。故选C。
一题多解
充分性:若数列{aₙ}为等差数列，设其公差为d(常数)，则aₙ₊₁ - aₙ = d，Sₙ = $\frac{n(a₁ + aₙ)}{2}$，故$\frac{Sₙ}{n}$ = $\frac{a₁ + aₙ}{2}$，
∴$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}$ - $\frac{Sₙ}{n}$ = $\frac{a₁ + a_{n + 1}}{2}$ - $\frac{a₁ + aₙ}{2}$ = $\frac{d}{2}$(常数)，故数列{$\frac{Sₙ}{n}$}是首项为a₁，公差为$\frac{d}{2}$的等差数列，充分性成立；
必要性:若数列{$\frac{Sₙ}{n}$}为等差数列，则$\frac{S_{n + 1}}{n + 1}$ - $\frac{Sₙ}{n}$ = $\frac{nS_{n + 1} - (n + 1)Sₙ}{n(n + 1)}$ = $\frac{na_{n + 1} - Sₙ}{n(n + 1)}$为常数，设$\frac{na_{n + 1} - Sₙ}{n(n + 1)}$ = t(t为常数)，
则Sₙ = naₙ₊₁ - tn(n + 1)，当n ≥ 2时，Sₙ₋₁ = (n - 1)aₙ - tn(n - 1)，
则aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁ = naₙ₊₁ - (n - 1)aₙ - 2tn，整理可得aₙ₊₁ - aₙ = 2t，当n = 1时上式也成立，故数列{aₙ}为等差数列，必要性成立。故甲是乙的充要条件。故选C。

8. 已知$\sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3}$，$\cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{6}$，则$\cos(2\alpha + 2\beta) =$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{7}{9}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $-\frac{1}{9}$
D. $-\frac{7}{9}$

答案： 8.B
思路导引
sin(α - β) = $\frac{1}{3}$，cosαsinβ = $\frac{1}{6}$→求sinαcosβ的值→求sin(α + β)的值→用二倍角公式求cos(2α + 2β)的值
[命题点]两角和与差的正弦公式及二倍角的余弦公式
[深度解析]
∵sin(α - β) = sinα×cosβ - cosαsinβ = $\frac{1}{3}$，cosαsinβ = $\frac{1}{6}$，
∴sinαcosβ = $\frac{1}{3}$ + cosαsinβ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$
∴sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{2}{3}$，
∴cos(2α + 2β) = cos[2(α + β)] = 1 - 2sin²(α + β) = 1 - 2×($\frac{2}{3}$)² = $\frac{1}{9}$，故选B。

9. 有一组样本数据$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$，其中$x_{1}$是最小值，$x_{6}$是最大值，则　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数等于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的平均数
B. $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的中位数等于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的中位数
C. $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的标准差不小于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的标准差
D. $x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的极差不大于$x_{1},x_{2},\cdots,x_{6}$的极差

答案： 9.BD　[命题点]样本的数据特征
[深度解析]对于选项A:
∵x₁，x₆不确定，
∴x₁，x₂，…，x₆的平均数不确定，如1，2，2，2，2，4的平均数不等于2，2，2，2的平均数，故A错误；
对于选项B:不妨设x₂ ≤ x₃ ≤ x₄ ≤ x₅，则x₂，x₃，x₄，x₅的中位数为$\frac{x₃ + x₄}{2}$，x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆的中位数为$\frac{x₃ + x₄}{2}$，故B正确；
对于选项C:
∵x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆的波动性不小于x₂，x₃，x₄，x₅的波动性，
∴x₂，x₃，x₄，x₅的标准差不大于x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆的标准差(提示:标准差反映数据的离散程度，数据越离散，标准差越大)，故C错误；
对于选项D:不妨设x₂ ≤ x₃ ≤ x₄ ≤ x₅，则x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤ x₄ ≤ x₅ ≤ x₆，
∴x₅ - x₂ ≤ x₆ - x₁，即x₂，x₃，x₄，x₅的极差不大于x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₆的极差(定义:极差为样本数据的最大值减去最小值)，故D正确。故选BD。

10. 噪声污染问题越来越受到重视. 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级$L_p = 20\times\lg\frac{P}{p_0}$，其中常数$p_0(p_0＞0)$是听觉下限阈值，$P$是实际声压. 下表为不同声源的声压级:

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车$10m$处测得实际声压分别为$P_1,P_2,P_3$，则（ ）
A. $P_1\geq P_2$
B. $P_2＞10P_3$
C. $P_3 = 100p_0$
D. $P_1\leq 100P_2$

答案： 10.ACD　[命题点]对数的运算及实际应用
[深度解析]设燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车的声压级分别为L,L2,L,由题知Po,P,P2,P3均大于0,
∵L−L=20×1g$\frac{P}{P}$−20xlg$\frac{P2}{Po}$=20xlg$\frac{P}{P}$≥0,
∴$\frac{P}{P2}$≥1,
∴P≥ρ2,故A正确;
∵厶−厶=20×lg$\frac{P2}{P3}$≥10,...lg$\frac{P2}{P}$≥$\frac{1}{2}$，
∴.$\frac{P2}{P}$≥　$\sqrt{10}$,
∴p2≥$\sqrt{10}$3,故B错误;
∵厶=20×1g$\frac{P3}{p}$=40,
∴$\frac{P3}{P}$=100,
∴P3=100po,故C正确;
∵L−L=20xlg$\frac{P}{P}$≤90−50=40,
∴lg$\frac{P}{P}$≤2,
∴$\frac{P}{P}$≤100,
∴P≤100p2,故D正确.
　故选ACD.
　　一题多解
　　由L,=20lgPPo,对于燃油汽车60≤20lg$\frac{P}{Po}$≤90,即3≤lgP1−1gPo≤$\frac{9}{2}$,
∴lg(1000p0)=3+1gPo≤lgP≤$\frac{9}{2}$+1gPo=
　　lg[10po)),即10000≤p≤10茎Po;;同理,对于混合动力汽车10²;po≤p2≤1000po;对于电动汽车20lg$\frac{P}{P}$=40,则lgP3−lgPo=2,
∴lgp3=2+lgpo=lg(100po),
∴P3=100ρ0,选项C正

11. 已知函数$f(x)$的定义域为$R$，$f(xy)=y^{2}f(x)+x^{2}f(y)$，则（ ）
A. $f(0)=0$
B. $f(1)=0$
C. $f(x)$是偶函数
D. $x = 0$为$f(x)$的极小值点

答案：
11.ABC　[命题点]抽象函数求值、函数的奇偶性、判断函数的极值点
[深度解析]对于A,令x=y=0,，得f
(0)=0,，故A正确;
　对于B,令x=y=1,得f
(1)=∮
(1)+f
(1)=2∮
(1),所以∮
(1)=0,故B正确;
　对于C,令x=y=−1,得f
(1)=f(−1)+A(−1)=2f(−1)=0,所以
A(−1)=0,所以∮(−xy)=y²f(−x)+x²f(y)=y²[∮(x)+x²f(−1)]+x²∮(y)=y²f(x)+x²f(y)=f(xy)在定义域R上恒成立,所以f(x)
　是偶函数，故C正确;
　对于D,函数f(x)=0为常数函数,且满足f(xy)=y²f(x)+xf(y),而常数函数没有极值点，故D错误.故选ABC.
　　一题多解选项D:对式子两边同时除以x²y²(x²γ²≠0),得到$\frac{xy)}{x²y²}$=
　　∮x(²x)+$\frac{y)}{y²}$，故可构近　　　$\frac{x)}{x²}$=lnlx1(x≠0),
　　若x=0,则由A选项知∮
(0)=0,所以f(x)={x0²,1xn=1x0l,,x≠0,
　　则当x＞0时,f(x)=x²1nx,f'(x)=2xlnx+x².$\frac{1}{x}$=
　　x(2lInx+1),令f,(x)＞0,则x＞e²,令f'(x)＜0,则0＜x＜e²,
　　故∮(x)在(0,e)上单调递减,在(e÷,+∞)上单调递增,且
　　　　　　　　　　　　1
　　limf(x)=limI$\frac{1}{x²}$旦x=lxi−m0−2x$\frac{1}{x²}$=
　　　　　　　　　　　　　　
　　lim$\frac{x²}{−2}$=0,又f(x)是偶函数,故
　　f(x)的图像如图所示,所以x=0为f(x)的极大值点，故D
　　错误，