《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

1.已知全集$U = \{x|-3 ＜ x ＜ 3\}$，集合$A = \{x|-2 ＜ x \leq 1\}$，则$\complement_U A =$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$(-2,1]$　　　　　　　B.$(-3,-2)\cup[1,3)$
　
C.$[-2,1)$　　　　　　　D.$(-3,-2]\cup(1,3)$

答案： D

2.若复数$z$满足$i\cdot z = 3 - 4i$，则$\vert z\vert =$　　　　　　(　　　)
　
A.$1$　　　
　B.$5$　　　
　C.$7$　　　
　D.$25$

答案： B

3.若直线$2x + y - 1 = 0$是圆$(x - a)^2 + y^2 = 1$的一条对称轴，则$a =$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A.$\frac{1}{2}$　　　
　B.$-\frac{1}{2}$　　
　C.$1$　　　
　D.$-1$

答案： A

4.已知函数$f(x) = \frac{1}{1 + 2^x}$，则对任意实数$x$，有　　(　　　)
　
A.$f(-x) + f(x) = 0$　　　　B.$f(-x) - f(x) = 0$
　
C.$f(-x) + f(x) = 1$　　　　D.$f(-x) - f(x) = \frac{1}{3}$

答案： C

5.已知函数$f(x) = \cos^2x - \sin^2x$，则　　　　　　　(　　　)
　
A.$f(x)$在$[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}]$上单调递减
　
B.$f(x)$在$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{12}]$上单调递增
　
C.$f(x)$在$[0,\frac{\pi}{3}]$上单调递减
　
D.$f(x)$在$[\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{12}]$上单调递增

答案： C

6.设$\{a_n\}$是公差不为$0$的无穷等差数列，则“$\{a_n\}$为递增数列”是“存在正整数$N_0$，当$n ＞ N_0$时，$a_n ＞ 0$”的　　(　　　)
　
A.充分而不必要条件　　B.必要而不充分条件
　
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案： C

7.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献。如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与$T$和$\lg P$的关系，其中$T$表示温度，单位是$K$；$P$表示压强，单位是$bar$。下列结论中正确的是(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
A.当$T = 220$，$P = 1026$时，二氧化碳处于液态
　　　　　　　　　　　　
B.当$T = 270$，$P = 128$时，二氧化碳处于气态
　　　　　　　　　　　　
C.当$T = 300$，$P = 9987$时，二氧化碳处于超临界状态
D.当$T = 360$，$P = 729$时，二氧化碳处于超临界状态

答案： D

8.若$(2x - 1)^4 = a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，则$a_0 + a_2 + a_4 =$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　
A.$40$　　　
　B.$41$　　　
　C.$-40$　　
　D.$-41$

答案： B

9.已知正三棱锥$P - ABC$的六条棱长均为$6$，$S$是$\triangle ABC$及其内部的点构成的集合。设集合$T = \{Q \in S|PQ \leq 5\}$，则$T$表示的区域的面积为　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　
A.$\frac{3\pi}{4}$　　
　B.$\pi$　　　
　C.$2\pi$　　
　D.$3\pi$

答案： B

10. 在△ABC中，AC = 3，BC = 4，∠C = 90°。P为△ABC所在平面内的动点，且PC = 1，则$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}$的取值范围是（ ）
A. [−5, 3]
B. [−3, 5]
C. [−6, 4]
D. [−4, 6]

答案：
10.D
思路导引
建立平面直角坐标系→点P的轨迹为圆→$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (x - \frac{3}{2})^2 + (y - 2)^2 - \frac{25}{4}$，$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 2)^2$表示圆$x^2 + y^2 = 1$上一点到点$(\frac{3}{2}, 2)$的距离的平方→圆心$(0, 0)$到点$(\frac{3}{2}, 2)$的距离加（减）半径→$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \in [-4, 6]$
[命题点]平面向量的数量积、圆上一点到定点的距离的范围
[深度解析]以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(3, 0)，B(0, 4)。设P(x, y)，则$x^2 + y^2 = 1$，$\overrightarrow{PA} = (3 - x, -y)$，$\overrightarrow{PB} = (-x, 4 - y)$，所以$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = x^2 - 3x + y^2 - 4y = (x - \frac{3}{2})^2 + (y - 2)^2 - \frac{25}{4}$。因为$(x - \frac{3}{2})^2 + (y - 2)^2$表示圆$x^2 + y^2 = 1$上一点到点$(\frac{3}{2}, 2)$的距离的平方，又圆$x^2 + y^2 = 1$上一点到点$(\frac{3}{2}, 2)$的距离的最值可由圆心$(0, 0)$到点$(\frac{3}{2}, 2)$的距离加（减）半径得到，所以$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \in [(\frac{5}{2} - 1)^2 - \frac{25}{4}, (\frac{5}{2} + 1)^2 - \frac{25}{4}]$，即$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} \in [-4, 6]$，故选D。

11. 函数$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{1 - x}$的定义域是________。

答案： 11.$(-\infty, 0) \cup (0, 1]$
[命题点]函数的定义域
[深度解析]因为$f(x) = \frac{1}{x} + \sqrt{1 - x}$，所以$\begin{cases}x \neq 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{cases}$，解得$x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1]$。

12. 已知双曲线$y^{2}+\frac{x^{2}}{m}=1$的渐近线方程为$y = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$，则$m =$________。

答案： 12. -3
[命题点]双曲线的标准方程及简单几何性质
[深度解析]依题意得$m ＜ 0$，则双曲线的标准方程可化为$y^2 - \frac{x^2}{-m} = 1$，此时双曲线的渐近线方程为$y = \pm \frac{1}{\sqrt{-m}}x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$，解得$m = -3$。