《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

1. 设集合$M = \{x|0 ＜ x ＜ 4\}$，$N = \{x|\frac{1}{3} \leq x \leq 5\}$，则$M\cap N =$( )
A. $\{x|0 ＜ x \leq \frac{1}{3}\}$
B. $\{x|\frac{1}{3} \leq x ＜ 4\}$
C. $\{x|4 \leq x ＜ 5\}$
D. $\{x|0 ＜ x \leq 5\}$

答案：
B　[命题点]集合的交集运算
[深度解析]
∵M={x|0＜x＜4}，N={x|$\frac{1}{3}$≤x≤5}，画出数轴如图所示.
∴M∩N={x|$\frac{1}{3}$≤x＜4}，故选B.
　　　　　　　　

2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A. 该地农户家庭年收入低于$4.5$万元的农户比率估计为$6\%$
B. 该地农户家庭年收入不低于$10.5$万元的农户比率估计为$10\%$
C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过$6.5$万元
D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于$4.5$万元至$8.5$万元之间

答案： C　[命题点]频率分布直方图的应用与数据分析
[深度解析]由频率分布直方图知年收入低于4.5万元的农户比率估计为(0.02 + 0.04)×1 = 0.06 = 6%，故A正确；年收入不低于10.5万元的农户比率估计为(0.04 + 0.02×3)×1 = 0.10 = 10%，故B正确；该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02 + 4×0.04 + 5×0.10 + 6×0.14 + 7×0.20 + 8×0.20 + 9×0.10 + 10×0.10 + 11×0.04 + 12×0.02 + 13×0.02 + 14×0.02 = 7.68＞6.5，故C错误；年收入介于4.5万元至8.5万元之间的农户比率约为(0.10 + 0.14 + 0.20 + 0.20)×1 = 0.64＞0.5，故D正确.故选C.

3.已知$(1 - i)^2z = 3 + 2i$，则$z =$　　　　　　　　　(　　　)

A. $-1 - \frac{3}{2}i$　　　　　　　
　B. $-1 + \frac{3}{2}i$
C. $-\frac{3}{2} + i$　　　　　　　　
　D. $-\frac{3}{2} - i$

答案： 3.B　[命题点]复数的四则运算
[深度解析]
∵(1 - i)²z = 3 + 2i，
∴z = $\frac{3 + 2i}{(1 - i)²}$ = $\frac{3 + 2i}{-2i}$ = $\frac{(3 + 2i)i}{-2i²}$ = $\frac{-2 + 3i}{2}$ = -1 + $\frac{3}{2}$i，故选B。

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据$L$和小数记录法的数据$V$满足$L = 5 + \lg V$。已知某同学视力的五分记录法的数据为$4.9$，则其视力的小数记录法的数据约为$(\sqrt[10]{10} \approx 1.259)$　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $1.5$　　
　B. $1.2$　　　
　C. $0.8$　　　
　D. $0.6$

答案： 4.C　[命题点]函数模型的实际应用及对数运算
[深度解析]将L = 4.9代入L = 5 + lgV，得lgV = -0.1，即V = 10⁻⁰.¹ = $\frac{1}{10^{0.1}}$ ≈ 0.8，故选C。

5.已知$F_1,F_2$是双曲线$C$的两个焦点，$P$为$C$上一点，且$\angle F_1PF_2 = 60^{\circ}$，$\vert PF_1\vert = 3\vert PF_2\vert$，则$C$的离心率为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\frac{1}{2}$　　　
　B. $\frac{\sqrt{13}}{2}$　　
　C. $\sqrt{7}$　　　
　D. $\sqrt{13}$

答案：
5.A　[命题点]双曲线的定义及离心率，余弦定理的应用
[深度解析]不妨设双曲线的焦点在x轴上，如图，由双曲线的定义得，|PF₁| - |PF₂| = 2a，

又|PF₁| = 3|PF₂|，所以|PF₂| = a，|PF₁| = 3a。所以在△F₁PF₂中，有|F₁F₂|² = |PF₁|² + |PF₂|² - 2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂，即4c² = 9a² + a² - 2×3a×a×cos60°，化简得4c² = 7a²，即$\frac{c²}{a²}$ = $\frac{7}{4}$，所以离心率e = $\frac{c}{a}$ = $\sqrt{\frac{7}{4}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{2}$，故选A。

6.在一个正方体中，过顶点$A$的三条棱的中点分别为$E,F,G$。该正方体截去三棱锥$A - EFG$后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是　　　　　　　(　　　)

答案： 6.D　[命题点]几何体的三视图与直观图
[深度解析]由题意及多面体的正视图可得其直观图如图所示，则其侧视图为D选项。故选D。

7.等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，前$n$项和为$S_n$。设甲：$q＞0$，乙：$\{S_n\}$是递增数列，则　　　　　　　　　　(　　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

答案： 7.B　[命题点]数列的单调性及充分、必要条件的判断
[深度解析]当q = 1时，Sₙ = na₁，只有当a₁＞0时，数列{Sₙ}才是递增数列，故甲不是乙的充分条件；若数列{Sₙ}是递增数列，则Sₙ - Sₙ₋₁＞0对任意n≥2，n∈N*恒成立，即aₙ = a₁qⁿ⁻¹＞0（n≥2，n∈N*）恒成立，所以a₁＞0，q＞0，因此甲是乙的必要条件。故甲是乙的必要条件但不是充分条件，故选B。
方法速记：数列{aₙ}单调性的判断方法：
(1)若aₙ - aₙ₋₁＞0（n≥2，n∈N*）恒成立，则数列{aₙ}是递增数列；
(2)若aₙ - aₙ₋₁＜0（n≥2，n∈N*）恒成立，则数列{aₙ}是递减数列；
(3)若aₙ - aₙ₋₁ = 0（n≥2，n∈N*）恒成立，则数列{aₙ}是常数列。

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为$8848.86$(单位：$m$)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一。如图是三角高程测量法的一个示意图，现有$A,B,C$三点，且$A,B,C$在同一水平面上的投影$A'$，$B'$，$C'$满足$\angle A'C'B' = 45^{\circ}$，$\angle A'B'C' = 60^{\circ}$。由$C$点测得$B$点的仰角为$15^{\circ}$，$BB'$与$CC'$的差为$100$；由$B$点测得$A$点的仰角为$45^{\circ}$，则$A,C$两点到水平面$A'B'C'$的高度差$AA' - CC'$约为$(\sqrt{3} \approx 1.732)$　　　　　　　　　　(　　　)

A. $346$　　　
　B. $373$　　　
　C. $446$　　　
　D. $473$

答案：
8.B　[命题点]诱导公式、两角差的正弦公式以及利用正弦定理解三角形
[深度解析]如图，过点C作CD⊥BB'，垂足为点D，过点D作DE⊥AA'，垂足为点E，连接CE，过点B作BF⊥AA'，垂足为点F，则由题意可得∠BCD = 15°，∠ABF = 45°，FE = BD = BB' - CC' = 100，AF = BF = DE，所以AA' - CC' = BF + 100。易得CD//C'B'，DE//B'A'，EC//A'C'，所以∠ECD = ∠A'C'B' = 45°，∠EDC = ∠A'B'C' = 60°。在Rt△CDB中，CD = $\frac{100}{tan15°}$，在△CDE中，∠CED = 180° - 45° - 60° = 75°，由正弦定理，得$\frac{DE}{sin45°}$ = $\frac{CD}{sin75°}$，即DE = $\frac{100sin45°}{sin75°tan15°}$ = $\frac{100sin45°}{\frac{sin75°sin15°}{cos15°}}$ = $\frac{100sin45°}{sin15°}$。又sin15° = sin(45° - 30°) = $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$，所以DE = $\frac{100sin45°}{sin15°}$ = 100($\sqrt{3}$ + 1) ≈ 273，所以AA' - CC' = BF + 100 = DE + 100 ≈ 373，故选B。

9.若$\alpha \in (0,\frac{\pi}{2})$，$\tan2\alpha = \frac{\cos\alpha}{2 - \sin\alpha}$，则$\tan\alpha =$　　(　　　)
A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$　　　　　　　　
　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$　　　　　　　　　
　D. $\frac{\sqrt{15}}{3}$

答案： 9.A　[命题点]二倍角公式及同角三角函数基本关系
[深度解析]因为α∈(0，$\frac{\pi}{2}$)，所以sinα＞0，cosα＞0。tan2α = $\frac{sin2α}{cos2α}$ = $\frac{2sinαcosα}{1 - 2sin²α}$ = $\frac{cosα}{2 - sinα}$，化简得sinα = $\frac{1}{4}$，所以cosα = $\frac{\sqrt{15}}{4}$，所以tanα = $\frac{sinα}{cosα}$ = $\frac{\sqrt{15}}{15}$，故选A。