《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

19. (本小题满分12分)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO₂浓度(单位:μg/m³)，得下表:
　　　
　　(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO₂浓度不超过150”的概率;
　　(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表:
　　　
　　(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO₂浓度有关?
　　附:K² = $\frac{n(ad - bc)}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，
　　

答案： [命题点]频率估计概率和独立性检验
[解]
(1)根据抽查数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75，且SO₂浓度不超过150的天数为32 + 18 + 6 + 8 = 64。……2分
因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO₂浓度不超过150的概率的估计值为$\frac{64}{100}$ = 0.64。……4分
(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：
| | SO₂ [0,150] | SO₂ (150,475] |
| --- | --- | --- |
| PM2.5 [0,75] | 64 | 16 |
| PM2.5 (75,115] | 10 | 10 | ……7分
(3)根据
(2)的列联表得$K^2 = \frac{100×(64×10 - 16×10)}{80×20×74×26} \approx 7.484$。……9分
由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO₂浓度有关。……12分
方法速记：K观测值k的大小作为检验在多大程度上认为两个分类变量有关系的标准，若k≥k₀，则有(1 - P(K²≥k₀))×100%的把握认为两个分类变量有关系；否则，就认为根据样本数据没有充分理由说明两个分类变量有关系。

20. (本小题满分12分)如图，四棱锥P - ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD。设平面PAD与平面PBC的交线为l。
　　(1)证明:l⊥平面PDC;
　　(2)已知PD = AD = 1，Q为l上的点，且QB = $\sqrt{2}$，求PB与平面QCD所成角的正弦值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
[命题点]线面垂直的证明及线面角的求解
(1)[证明]因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD。又底面ABCD为正方形，所以AD⊥DC。因此AD⊥平面PDC。……2分
因为AD//BC，AD⊄平面PBC，所以AD//平面PBC。……3分
由已知得l//AD。
因此l⊥平面PDC。……4分
(2)[解]以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，P(0,0,1)，则
$\overrightarrow{PB} = (1,1, - 1)$，$\overrightarrow{DC} = (0,1,0)$。
由
(1)可设Q(a,0,1)，则$\overrightarrow{QB} = (1 - a,1, - 1)$。
所以$|\overrightarrow{QB}| = \sqrt{(1 - a)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。……6分
解得a = 1，则Q(1,0,1)，则$\overrightarrow{DQ} = (1,0,1)$。
设$\overrightarrow{n} = (x,y,z)$是平面QCD的法向量，则
$\begin{cases}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{DC} = 0 \\\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{DQ} = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}y = 0 \\x + z = 0\end{cases}$。取x = 1，可得$\overrightarrow{n} = (1,0, - 1)$。……9分
所以$\cos\lt\overrightarrow{n},\overrightarrow{PB}\gt = \frac{\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{n}| |\overrightarrow{PB}|} = \frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$。……11分
所以PB与平面QCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$。……12分