《2025年理想树图书高考必刷卷42套模拟卷汇编高中数学人教版》

20.(本小题满分12分)已知椭圆C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1(a＞b＞0)$的右焦点为F($\sqrt{2}$,0),离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
　(1)求C的方程;
　(2)设M,N是C上两点,直线MN与曲线x²+y²=
　b²(x＞0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=$\sqrt{3}$

答案： 20.[命题点]椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、椭圆与圆的综合性问题
(1)[解]由题意得$c = \sqrt{2}$，$\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$，可得$a = \sqrt{3}$。
从而$b^2 = a^2 - c^2 = 3 - 2 = 1$。
∴椭圆$C$的方程为$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$。 4分
(2)[证明]设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，若直线$MN \perp x$轴，由直线$MN$与曲线$x^2 + y^2 = 1(x ＞ 0)$相切可知，直线$MN$的方程为$x = 1$，不过点$F$，不合题意，
∴直线$MN$的斜率必存在且不为$0$。
5分(先考虑直线$MN \perp x$轴这一情况，防止丢解)
设直线$MN$的方程为$y = kx + m(k \neq 0)$。
由直线$MN$与曲线$x^2 + y^2 = 1(x ＞ 0)$相切知$\frac{|m|}{\sqrt{1 + k^2}} = 1$，即$1 + k^2 = m^2$。
6分(接下来，联立直线$MN$与椭圆$C$的方程，消元，整理成关于$x$的一元二次方程，由根与系数的关系可得$x_1 + x_2$，$x_1x_2$，为计算弦长$|MN|$作准备)
将$y = kx + m(k \neq 0)$与椭圆方程$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$联立，消去$y$，化简得$(1 + 3k^2)x^2 + 6kmx + 3(m^2 - 1) = 0$。
$\Delta = (6km)^2 - 4\times3(m^2 - 1)(1 + 3k^2) = -12m^2 + 12 + 36k^2 ＞ 0$。
由根与系数的关系得$x_1 + x_2 = \frac{-6km}{1 + 3k^2}$，$x_1x_2 = \frac{3(m^2 - 1)}{1 + 3k^2}$。 8分
∴$|MN| = \sqrt{(1 + k^2)[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2]}$
$ = \sqrt{(1 + k^2)[(\frac{-6km}{1 + 3k^2})^2 - 4\times\frac{3(m^2 - 1)}{1 + 3k^2}]}$
$ = \sqrt{\frac{(1 + k^2)(36k^2 + 12 - 12m^2)}{(1 + 3k^2)^2}}$。
又$m^2 = k^2 + 1$，
∴$|MN| = \frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1 + k^2}}{1 + 3k^2}$。 10分(接下来，验证$M$，$N$，$F$共线与$|MN| = \sqrt{3}$的等价性)
若点$M$，$N$，$F$共线，则$0 = \sqrt{2}k + m$，即$m = -\sqrt{2}k$。
又$1 + k^2 = m^2$，
∴$k^2 = 1$，代入上式可得
$|MN| = \frac{2\sqrt{6}\times1\times\sqrt{2}}{1 + 3} = \sqrt{3}$。
反之，若$|MN| = \sqrt{3}$，则$\frac{2\sqrt{6}|k|\sqrt{1 + k^2}}{1 + 3k^2} = \sqrt{3}$，
即$2\sqrt{2}|k|\sqrt{1 + k^2} = 1 + 3k^2$，
整理得$k^2 = 1$，又$1 + k^2 = m^2$，
∴$m^2 = 2$。
又曲线$x^2 + y^2 = 1(x ＞ 0)$为右半圆，则$m$与$k$异号，
∴$k = 1$，$m = -\sqrt{2}$或$k = -1$，$m = \sqrt{2}$，
即$MN$的方程为$y = x - \sqrt{2}$或$y = -x + \sqrt{2}$，经检验，都经过点$F$。
因此，$M$，$N$，$F$三点共线的充要条件是$|MN| = \sqrt{3}$。 12分
关键点拨：证$M$，$N$，$F$三点共线与$|MN| = \sqrt{3}$的等价性，容易知道，在$MN$与半圆相切且弦长为定值时，$MN$为确定的直线，自然可以通过方程验证直线$MN$是否过焦点$F$。